Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Р = у 8 (Y0 — Y1) [1 + Y6 (±Си + Ет)]
НЕЙТРИНО
137
или, возвратившись к записи е(7° — у1) в виде ур:
P = y(VP)[l+V5(±?ii +5iVi)]- (29,21)
Это и есть искомое выражение матрицы плотности в ультра-релятивистском случае. Обратим внимание на то, что все компоненты вектора поляризации ? входят в него равноправно как члены одного порядка величины. Напомним, что ?„ есть компонента этого вектора, параллельная (при ?„ >0) или антипарал-лельная (?ц < 0) импульсу частицы. В частности, для спирального состояния частицы ?„ = 2Х = ±1; при этом матрица плотности принимает в особенности простой вид:
P = |(VP)(1±2^), (23,22)
совпадающий, как и должно быть, с видом матрицы плотности нейтрино или антинейтрино —частицы с нулевой массой и определенной спиральностью (см. ниже, § 30).
§ 30. Нейтрино
Мы видели в § 20, что необходимость описания частицы со спином 72 двумя спинорами (? и т^) связана с массой частицы.
Эта причина отпадает, если масса равна нулю. Волновое урав-
нение, описывающее такую частицу, может быть составлено уже с помощью всего одного спинора, скажем, пунктирного спинора
Ра\ = 0, (30,1)
или, что то же,
(ро + Р°0 Л = 0. (30,2)
В § 20 было также отмечено, что волновое уравнение, содержащее массу т, автоматически оказывается симметричным по отношению к инверсии (преобразование (20,4)). При описании же частицы одним спинором эта симметрия теряется. В ней, однако, нет необходимости, поскольку симметрия по отношению к инверсии не является универсальным свойством природы.
Энергия и импульс частицы с т = 0 связаны соотношением е = |р{. Поэтому для плоской волны (г| — е-1>л) уравнение (30,2) Дает
(по) Цр^ — (30,3)
где п — орт вектора р. Такое же уравнение
(па)Ч-,, = —П-* (30,4)
ИМеет место и для волн* с «отрицательной частотой» (тир~*е*Рх).
138
ФЕРМИОНЫ
[Гл. III
Вторично квантованный ^-оператор:
Л = 2(1у*Р + Л-/р), ^+ = S(i1pa? + Ц-рЬР). (30,5)
р р
Отсюда, как обычно, следует, что г)1р — волновые функции античастицы.
Из определения операторов (20,1) видно, что ра$* = —
Поэтому комплексно-сопряженный спинор tj* удовлетворяет уравнению г)^ = 0, или, что то же,
Обозначим tjP* = выразив этим тот факт, что комплексное
сопряжение превращает пунктирный спинор в непунктирный. Таким образом, волновые функции античастицы удовлетворяют уравнению
°, (30-6)
или
(Ро — ра)? = 0. (30,7)
Для плоской волны имеем отсюда
(ия) \р — \р- (30,8)
Но 72 па есть оператор проекции спина на направление движения. Поэтому уравнения (30,3) и (30,8) означают, что состояния частицы с определенным импульсом автоматически оказываются спиральными —проекция спина вдоль направления движения имеет в них определенное значение. При этом, если спин частицы противоположен импульсу (спиральность —1/г), то спин античастицы направлен вдоль импульса (спиральность
-f-1/а)-
Частицами с такими свойствами являются, по-видимому, существующие в природе нейтрино. При этом частицу со спираль-ностью —1/2 условно принято называть нейтрино, а частицу со спиральностью +V2 — антинейтрино1).
В связи с невырожденностью состояний нейтрино по направлениям спина напомним сделанное в § 8 замечание о том, что частице с массой 0 свойственна лишь аксиальная симметрия относительно направления импульса. В случае истинно нейтральной частицы—фотона — в эту симметрию входят как вращения вокруг оси, так и отражения в проходящих через ось плоско-
1) Существование нейтрино было предсказано теоретически Паули для объяснения свойств р-распада (1931). Уравнение (30,1) впервые рассматривалось Вейлем (Н. Weyl, 1929). Основанную на этих уравнениях теорию нейтрино сформулировали Л. Д. Ландау, Т. D. Lee и С. N. Yang, A. Salatn (1957).
НЕЙТРИНО
139
стях. В случае же нейтрино симметрия относительно отражений отсутствует, и мы имеем дело лишь с группой вращений вокруг оси, сохраняющей проекцию момента на ось, но не меняющей ее знака. Симметрия относительно отражений существует лишь при условии одновременной замены частицы на античастицу.
Надо также отметить, что обязательная продольная поляризация означает, что у нейтрино спин вообще не отделим от орбитального момента (как и у фотона с обязательной попереч-ностью полей, см. § 6).
С помощью одного спинора г) (или |) можно образовать всего четыре билинейные комбинации, составляющие вместе 4-вектор
уц _ (г|*г), г)*стг)). (30,9)
Легко проверить, что в силу уравнений
(Ро + Р°) "Л = 0, ц*(р0— рст) = 0
имеет место уравнение непрерывности 0^ = 0, т. е. j** играет роль 4-вектора плотности тока частно.
Плоские волны нейтрино удобно нормировать способом, аналогичным тому, как это было сделано в § 23 для частиц с массой:
r'r = T^Ure~ipX’ 4-P = y^u-PeipX' (30>10)
причем спинорные амплитуды нормированы инвариантным условием
ы±р( 1, а)и±р = 2(е, р). (30,11)
При этом плотность частиц и плотность их тока: /° = 1,
j = p/e = n.
Поскольку свободное нейтрино с заданным импульсом всегда полностью поляризовано, то в этом случае не существует понятия о смешанном (по спину) состоянии. Тем не менее может оказаться удобным ввести двухрядную поляризационную «матрицу плотности», определенную просто как спинор второго ранга
