Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
= — (дця|>С) (<34v) + + dv (i^d^v) —
В силу (14,3) последний член обращается в нуль, а предпоследний есть полная производная. Опустив ее, получим лагранжиан
//=— (Зц^ХЗ^+т2^^. (15,1)
Он имеет ту же структуру, что и лагранжиан (10,9) частицы со спином 0, отличаясь лишь заменой скаляра гр на 4-вектор грц и общим знаком. Последнее связано с тем, что грц — пространственноподобный вектор, так что 'фм.'фм-* <0, в то время как для скалярной частицы г|тф* > 0.
Если построить 4-тензор энергии-импульса и 4-вектор тока с помощью лагранжиана (15,1), то мы получим выражения того же вида, что и выражения (10,12) и (10,18) для скалярного поля:
7Vv = — дцг^* • dvifo — dv^* • дц.% — L'g^, (15,2)
/и = — i №<5^ — (d^ift) гря]. (15,3)
Их отличие от (14,8) и (14,10) тоже сводится к полным производным. Но локальные значения этих величин не имеют (как уже подчеркивалось ранее) глубокого физического смысла. Существенны лишь объемные интегралы (10,15) и Q (10,19), которые будут совпадать при обоих выборах Тцч и /ц.
Такой способ описания непосредственно обобщается на частицы с произвольным (целым) спином. Волновая функция частицы со спином s есть неприводимый 4-тензор ранга s, т. е. тензор, симметричный по всем своим индексам и обращающийся в нуль при упрощении по любой паре индексов:
<P..n.v.. = *IUii.., *1>..мЛ = 0. (15,4)
Этот тензор должен удовлетворять дополнительному условию 4-поперечности:
рЧ-и..- 0, (15,5)
ЧАСТИЦЫ С ВЫСШИМИ ЦЕЛЫМИ СПИНАМИ
77
а каждая из его компонент —уравнению 2-го порядка:
(рг — тг)\|з...=0. (15,6)
В системе покоя условие (15,5) приводит к обращению в нуль всех компонент 4-тензора, среди индексов которых есть 0. Другими словами, волновая функция в системе покоя (т. е. в нерелятивистском пределе) сводится, как и следовало, к неприводимому
3-тензору ранга s, число независимых компонент которого равно 2s+l.
Лагранжиан, тензор энергии-импульса и вектор тока для поля частиц со спином s отличаются от (15,1—3) лишь заменой ^ на 'фя.ц....
Нормированная плоская волна:
u'Xv--e~‘Px, u*nV m|Xv-==— 1, (15,7)
у 2s
причем амплитуда волны удовлетворяет условиям
= о. (15,8)
Имеется 2s+1 независимых состояний поляризации.
Квантование поля производится очевидным обобщением со случаев спина 0 или 1.
Изложенная схема вполне достаточна для поставленной цели —описания поля свободных частиц. Иное дело, если ставить задачу об описании взаимодействия частиц с электромагнитным полем. Это взаимодействие должно было бы вводиться в лагранжиан, из которого все уравнения могли бы быть получены без необходимости постановки дополнительных условий. Однако фактически оказывается, что такое описание взаимодействия применимо только для электронов —частиц со спином 7а (см. § 32). Поэтому для других спинов эта задача могла бы иметь лишь методический интерес.
Отметим, что для всех (целых и полуцелых) спинов s > 1 оказывается невозможным сформулировать вариационный принцип с помощью одной только функции (тензорной или спинор-ной), ранг которой соответствует данному спину. Для этой цели оказывается необходимым ввести в качестве вспомогательных также тензорные или спинорные величины более низкого ранга. При этом лагранжиан подбирается таким образом, чтобы эти вспомогательные величины автоматически обращались в нуль в силу следующих из вариационного принципа уравнений поля свободных частиц1).
См. Fierz М., Pauli W.— Ргос. Roy. Soc., 1939, v. А 173, p. 211. Woe работе указанная программа проведена для частиц со спином 3/$ и 2.
78
БОЗОНЫ
[Гл. II
§ 16. Спиральные состояния частицы1)
В релятивистской теории орбитальный момент 1 и спин s движущейся частицы не сохраняются каждый в отдельности. Сохраняется лишь полный момент j = l-fs. Не сохраняется поэтому и проекция спина на какое-либо заданное направление (ось г), и поэтому эта величина не может служить для перечисления поляризационных (спиновых) состояний движущейся частицы.
Сохраняется, однако, проекция спина на направление импульса: поскольку 1 = [гр], то произведение sn совпадает с сохраняющимся произведением jn(n = p/|p|), Эту величину называют спиральностью2) (мы уже рассматривали ее для фотона в § 8). Ее собственные значения будем обозначать буквой X (Я, = — s,... ..., -fs), а состояния частицы с определенными значениями К будем называть спиральными состояниями.
Пусть г|)ря — волновая функция (плоская волна), описывающая состояние частицы с определенными р и К, а и(Х)(р)~ее амплитуда; для краткости обозначений мы не выписываем индексы компонент этой функции (для целого спина это — 4-тензорные индексы).
Мы видели в предыдущих параграфах, что при релятивистском описании частиц с отличным от нуля (целым) спином приходится вводить волновую функцию с числом компонент, превышающим 2s -fl. Однако число независимых компонент при этом остается равным 2s -fl; «лишние» компоненты устраняются наложением дополнительных условий, в силу которых эти компоненты обращаются в нуль в системе покоя (в следующей главе мы увидим это же для полуцелых s).
Согласно формулам преобразования момента (см. II, § 14) спиральность инвариантна относительно преобразований Лоренца, не меняющих направления р, на которое проецируется момент. Поэтому число К сохраняет при таких преобразованиях свой смысл квантового числа, и для изучения свойств симметрии спиральных состояний можно воспользоваться системой отсчета, в которой импульс |р|<^т (в пределе —системой покоя). Тогда ¦фря сведется к нерелятивистской (2s + 1)-компонентной волновой функции. Обозначим ее амплитуду через куа)(п), указав в качестве аргумента направление п = р/| р [, вдоль которого квантуется момент. Амплитуда wa) — собственная функция оператора ns:
