Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 232

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 226 227 228 229 230 231 < 232 > 233 234 235 236 237 238 .. 247 >> Следующая

§ 136] ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА ОПЕРАТОРА 689
fk в произведениях p2fk (члены iO и V в знаменателях для краткости не выписываем).
Очевидно, что если переставить в сумме (136,3) каким-либо образом индексы у множителей fk в произведениях pjk, то это сведется лишь к переобозначению импульсов и потому не изменит значения /„. Поэтому можно распространить суммирование в (136,3) по всем перестановкам множителей fk как в произведениях pjk, так и в pxfk, разделив после этого результат на п\.
Воспользуемся теперь важной формулой
^ ! ill (13б>4)
flj (<2i+ Д2) ¦ • *(^I ~Ь ^2 + • • ¦ + Qn) al a2 Qn nep
где сумма берется по перестановкам индексов 1, 2, ..., п1). Двукратное применение этой формулы сводит сумму интегралов к произведению п одинаковых интегралов вида (135,19) (или (135,26)), так что
K = (136,5)
Подставив это в (136,2) и просуммировав Г41*' по всем п — 0, 1,
2, .. ., получим окончательно
ГЙ(Р2, рг\ q) = flexv (^3^1) ¦ (136,6)
В частности, подставив сюда 1Х из (135,22), получим дважды
логарифмическую асимптотику вершинного оператора с виртуальными электронными концами
I41 (pt, Pi, 7) = Vй ехр{—^
\q2\>\plllpll>tn
In
Pi
in
(136,7)
(В. В. Судаков, 1956).
Подставив же 1Х из (135,29), найдем асмиптотику для вершинного оператора в случае реальных электронных концов:
ГЙ(Р2, Рй </) = 7йехр{— ~ (in2 ^ + 4 InIn (136,8)
\q21 >Pl = pl-m*.
Множитель, отличающий это Гм от его невозмущенного э^че-ния определяет собой также и отличие амплитуды рассеяния электрона во внешнем поле от ее борновского значения. Поэтому
*) При л== 2 эта формула очевидна, а ее обобщение легко достигается индукцией от п к /г+1.
670
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[Гл. XIII
сечение рассеяния
do = doB exp
Для устранения инфракрасной расходимости надо, однако, еще умножить это выражение на сумму вероятностей испускания различного числа мягких фотонов с энергией, не превышающей некоторого малого ытах, т. е. на величину (см. (122,2))
Интеграл в экспоненте берем из (120,14) (выражение, стоящее множителем при doynv) и в результате находим окончательно следующую асимптотическую формулу для сечения рассеяния электрона с энергией s при большой передаче импульса:
(А. А. Абрикосов, 1856). Первый (по а) член разложения этого выражения совпадает, естественно, с формулой (122,12).
Обратим внимание на то обстоятельство, что если положить сашах~е, то один из логарифмов в (136,11) становится ~1; другими словами, дважды логарифмические поправки сокращаются, если рассматривать сечение с одновременным испусканием фотонов любых энергий х). В принятом приближении экспоненциальный множитель в (136,1!) обращается тогда в единицу, так что сечение оказывается совпадающим с борновским — в соответствии с общим утверждением в конце § 98.
§ 137. Дважды логарифмическая асимптотика амплитуды рассеяния электрона на мюоне
В качестве примера другого рода рассмотрим рассеяние электрона на отрицательном мюоне, причем ограничимся случаем рассеяния строго назад, т. е. на угол 0 = л (В. Г. Горшков, В. Н. Грибов, Л. Н. Липатов, Г. В. Фролов, 1967). Этот процесс является простейшим с двух точек зрения. Во-первых, ввиду нетождественности обеих частиц отсутствуют обменные диаграммы.
(136,10)
do = doB exp | —In In
e
(136,11)
!) При рассеянии на конечный угол сформулированное в § 98 условие мягкости фотона требует только, чтобы было штах е, что позволяет с логарифмической точностью применять полученные здесь формулы и при сотах~е.
§ 137]
ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА АМПЛИТУДЫ
671
Во-вторых, при рассеянии назад сильно подавлено излучение мягких фотонов, в результате чего не возникает инфракрасной расходимости. Действительно, согласно (98,8) сечение испускания мягких фотонов
где v^, и v'e, — скорости частиц до и после столкновения.
Но в ультрарелятивистском случае равенство импульсов равнозначно равенству скоростей, и с этой точностью имеем в системе центра инерции при рассеянии назад \е = — Уц = — Ve = v^. В результате выражение (137,1) обращается в нуль.
Если рассматриваемый процесс рассеяния отвечает s-каналу реакции, то в /-канале он переходит в процесс превращения электрон-позитронной пары в пару В этом канале условие
0 = л означает, что совпадают направления движения е~ и ц.-(и е+ и |.rf). Подавление тормозного излучения в этом канале имеет особенно наглядное происхождение, так как направление движения заряда каждого знака вообще не меняется.
Взаимное сокращение главных членов в сечении излучения приводит к тому, что в его асимптотике не возникают дважды логарифмические поправки. Соответственно не возникает (с той же дважды логарифмической точностью) инфракрасной расходимости и при интегрировании по импульсам виртуальных фотонов в амплитуде рассеяния.
Если описывать процесс с помощью инвариантных переменных s = (Pe + P^f> t = (Pe--PeY> ^^{p^p^f, ТО рЭССеЯНИЮ НЭЗаД
в ультрарелятивистском случае будут отвечать значения
В первом (по а) приближении теории возмущений рассеяние электрона на мюоне описывается диаграммой
Переход к предельному случаю (137,2) в этом выражении осуществляется заменой матричного 4-вектора yv его «проекцией» у! на плоскость, нормальную плоскости ре, р’е (или, что то же, плоскости рц, р[и поскольку при ультрарелятивистском рассеянии назад ре » р'ц, р'е & /?ц). Действительно, параллельными пло-
Предыдущая << 1 .. 226 227 228 229 230 231 < 232 > 233 234 235 236 237 238 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed