Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом,
d4/ = y |*| dudvd2f х —> у 11 \dudvdp. (135,16)
Дальнейшие вычисления зависят от соотношения между величинами pl, р\, т2. Мы рассмотрим два случая.
Случай виртуальных электронных линий
Пусть импульсы рг, р2 отвечают виртуальным электронам, причем
\р{\, \pl\^>m2. (135,17)
Мы увидим, что основной областью интегрирования, приводящей к дважды логарифмическому выражению, является в этом случае область, определяемая неравенствами
0<р<|/ы|, | tv \;
<\v Ki;
<|м|<1. (135,18)
Соответственно этому в знаменателе подынтегрального выражения в (135,9) можно пренебречь т2, р\, р\, /- по сравнению с (pj) или (p2f), так что
Il = U(P^)2(p!f)(r + iO)- (135,19)
666
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[Гл. XIII
Для величин же pj, p2f, f2 имеем
/2 = (ирг + vp2)2 — р ж-tuv-2 (pj) = 2р1 (up, + vp2) « - tv,
2 (p2f) « — tu.
Тогда
A = -
Till
du dv
-tuv—(0 и
(135,20)
Согласно условиям (185,18) интегрирование по dp производится в пределах от 0 до меньшего из | iv | или | tu | и дает
min {J tu 1, | iv [}
do
J p + tuv — (0
0
I 1 11 (in при tuv < 0,
= lnmin<-j—-, -|—г i -j- ч „ „ (135,21)
I I и I I v | J ' { О при tuv> 0.
Логарифмическое же интегрирование no dv производится в пределах от —1 до —! pHt | и от \p\it \ до 1 (и аналогично по du). При подстановке (135,21) в (135,20) интеграл по dudv от первого члена обращается в нуль ввиду нечетности подынтеграль-
ной функции. Интегрирование же второго члена производится по интервалам значений и и v одинакового (при t < 0) или различного (при t > 0) знака. В обоих случаях области и > 0 и v < 0 дают (после интегрирования по du) одинаковый вклад, и в результате находим
h
2t
f ? s
dv
v
In
Г>1 1 iL
t 1 t
t t
2“ In
P i pl
(135,22)
(знак совпадает со знаком t).
Наконец, подставив значение /х в (135,11), находим окончательно
(135,23)
^ ..Ll ! я°- 31
= -2J^ 1П Pl in p\
|?*1>|Л2|. \pl\>m\
Случай физических электронных концов
Пусть теперь импульсы рх, р2 отвечают реальным электронам, так что
(135,24)
Pl-
¦¦ р\ = т2.
§ 135] ВЫДЕЛЕНИЕ ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧЛЕНОВ 667
В этом случае существенна область интегрирования
0<p<|fu|, |to|; 0 < | у |, | и | <^ 1. (135,25)
Поскольку р\—т2 = р\ — т2 = 0, то пренебрегая р\ и р\ по сравнению с p.j или p2f, снова приведем интеграл (135,9) к виду (135,19). Для устранения появляющейся в этом случае инфракрасной расходимости надо, однако, ввести еще в фотонный пропагатор конечную массу фотона Х<^.т (ср. § 117):
7l = I 2 (pj) 2 (/>,/) (/tp+Toj • (135,26)
Далее, имеем теперь
f2 да—tuv — p, 2pJ ж— tv + 2m2u, 2pJ да—iu\2tr^v, так что
/ = _Сx = 2m2/t<^\- (135,27)
2|*| Jp —iQ и — tv v— tu ^ v » /
После интегрирования no dp (аналогичного (135,21)) находим
du dv
5Т7гЯ
и—XV V — XU
причем интегрирование производится при условии /иу + Я2< 0. Области v > 0 и v < 0 снова дают одинаковый вклад, и после интегрирования по du находим
1 1 1
г г л2 С, С du еяг Г, тб — и2 dv по,
1_Т~ J J (и — ту) (и—хи) Т~ J (6—ту2) (т—и)~ (135’28)
0 6/у о
где б = №/t, |б|<^|т| и учтено, что |т|<^1.
В интеграле (135,28) три области значений v приводят к
дважды логарифмическим выражениям:
I) |t|<<Jw<^1, II) V^6/t<^u<^|t|, III) У тбv<<;Кб/т.
(Для определенности считаем, что ^б/т<^|т|. Ответ от этого предположения не зависит). Делая в каждой области соответствующие пренебрежения, получим
(l"!j^+41njsj<-lnr) • <|35'29>
Наконец, подставив в (135,11), находим окончательно ]><1>(р„ Pi, fln2i^i + 41n^ln^V (135,30)
4л
\q2\>pl = pl = m2, что совпадает с (117,21).
668
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[Гл. XIII
§ 136. Дважды логарифмическая асимптотика вершинного оператора
Когда вычисленные в предыдущем параграфе поправки Г(1) достигают порядка 1, вычисление вершинного оператора требует суммирования всей бесконечной последовательности дважды логарифмических членов всех степеней по а. Решение этой задачи оказывается возможным благодаря тому, что такие члены возникают только от диаграмм определенного типа, а вклады диаграмм различного порядка оказываются связанными друг с другом простыми соотношениями.
Именно, дважды логарифмические члены возникают, как мы убедимся ниже, от всех диаграмм вида
!?
(136,1)
Р2 Р<
и т. п., в которых каждая из фотонных линий соединяет правую и левую электронные линии; при этом они могут любым образом пересекаться друг с другом.
Перенумеруем фотонные импульсы . . в порядке следо-
вания, скажем, правых концов их линий. Тогда различные диаграммы одинакового порядка будут отличаться друг от друга перестановкой левых концов фотонных линий. В каждом интеграле Фейнмана производим пренебрежения в числителе и знаменателе, подобные тем, которые были сделаны в интеграле
(135,5); после этого числитель преобразуем тем же способом, что и при выводе (135,11). В результате сумма всех диаграмм с п фотонными линиями, составляющая член~аге в Г, представится в виде
гмл)=^1(ё0”/в’ (136,2)
/„=
z
пер 2
d'h-d'fn
2 (р,м 2 (Pih+Pifi) ¦¦¦ 2 (Pif 1+ ... + Pifn) 2 (pji) ... 2 (p2f i +... + p2f n) If fl-.. f%'
(136,3)
где сумма берется no всем перестановкам индексов у импульсов
