Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что это потребует суммирования бесконечного ряда поправок всех степеней (aL';)".
Дважды логарифмические поправки возникают в двух категориях случаев. К одной из них относятся процессы рассеяния на фиксированный конечный угол; их сечения (как мы видели в предыдущем параграфе) всегда падают в асимптотической области высоких энергий. Дважды логарифмические поправки в этих случаях тесно связаны с инфракрасной расходимостью. Сюда относится, в частности, упругое рассеяние электрона во внешнем кулоновом поле; в § 122 была найдена первая дважды логарифмическая поправка к его сечению. Полному определению этих поправок при условии (135,3) посвящен этот и следующий параграфы.
К другой категории относятся убывающие с ростом энергии сечения реакций при заданном квадрате передачи импульса, т. е. сечения на углы, асимптотически приближающиеся к нулю или к я; как было показано в предыдущем параграфе, это имеет место для процессов, диаграммы которых не могут быть рассечены в t- или в «-канале по внутренним фотонным линиям. В этом случае дважды логарифмические поправки не связаны
(135,2)
§ 135]
ВЫДЕЛЕНИЕ ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧЛЕНОВ
663
с инфракрасной расходимостью. В качестве такого рода примера в § 137 будет рассмотрено электрон-мюонное рассеяние назад (т. е. при « = const).
Отметим прежде всего, что при условии (135,3) однологарифмические поправки
и потому могут быть опущены. Поскольку, с другой стороны, в Ъ и S) дважды логарифмические поправки вообще отсутствуют, то это значит, что эти функции можно полагать теперь равными просто их невозмущенным значениям G и D.
Вычисление же вершинного оператора Г требует суммирования дважды логарифмических членов, возникающих из бесконечного ряда диаграмм. Этой задаче посвящен следующий параграф. Предварительно же изложим метод, позволяющий выделять дважды логарифмические члены из отдельных интегралов Фейнмана до фактического проведения в них интегрирований по всем переменным (В. В. Судаков, 1956).
Рассмотрихм поправку первого (по а) порядка к вершинному оператору, изображаемому диаграммой (117,1), которую нам будет удобно изобразить здесь (переобозначив переменные) в виде
причем концы р1У р2 могут быть как физическими, так и виртуальными. Из (135,6) следует, что
т. е. 4-векторы р1г р2 имеют большие компоненты при малых квадратах — ситуация, возможная в силу псевдоевклидовости
Pi
(135,4)
или, аналитически,
Г^ЧР,, P,\q) =
ie2 f* 7
4^J
ie2 Г У v (y/h — yf -r tn) yu (yp, — уf -j- m) yv d*f_
4-т-3 J U.P-2—-f)2—m^+iG} [(Pi — /)2 — /?i2 + i'OJ [P + iO] '
(135,5)
Будем предполагать, что
\q2\>pl Pl
(135,6)
\pip2\^~2\q2\>pl Pl m2,
(135,7)
664 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [Гл. XIII
четырехмерной метрики. Дважды логарифмические члены возникают именно при условиях (135,6).
Мы увидим в дальнейшем, что при интегрировании по будут существенны относительно малые значения f. Поэтому можно пренебречь / в числителе подынтегрального выражения, после чего Г(1) приобретает вид
Ц> = ~ ? ^ ^pl + m) 7v/i’ (135,8)
где
Г dAf n
/l="j [(P*-/)a-m2+i0][(/»,-/)2-m» + t0][/* + i0] ' (I35,9)
Матричный множитель в (135,8) можно упростить, если учесть, что Г всегда входит в диаграммы, по существу, умноженным на матрицы (ур2-\-т) и (yp1Jrm):
(уРг + т) Г (у Pi + т). (135,10)
Действительно, если линии рг и р2 виртуальные, то эти множители происходят от G (pj) и G (р2)\ если же линии отвечают реальным электронам, то Г умножается на ы2 и ult причем в силу уравнений Дирака имеем
уро-\-т ур,-\-т
и*=и*Чш-> Ui ~ 2т Ul’
Переставляя порядок матричных множителей и пренебрегая каждый раз, согласно условию (135,7), возникающими квадратами р\, pi, т2 по сравнению с рхрг, получим
(ур2 + т) Гд ш (ypt -j- т) ж — ^ (р.р.,) (ур2 + т) (yPt+m) It. Поэтому окончательно можно представить Г(1) в виде
Г"<1>==ё^Л. (135,11)
где
t = q2& — 2(рАр2). (135,12)
Отметим, что интеграл Д сходится при больших / и потому уже не требует регуляризации.
Основной пункт дальнейших вычислений — введение новых, более удобных переменных интегрирования.
Разобьем / на составляющие, тангенциальные и нормальные по отношению к плоскости рг, р2\
f — uPi + + /j_ 355 /и + / ±> (135,13)
fxPi~fxP,~0. (135,14)
§ 135] ВЫДЕЛЕНИЕ ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧЛЕНОВ 665
В качестве же новых переменных выберем коэффициенты и, v и величину
Р = —/1- (135,15)
Из условий (135,7) видно, что метрика в плоскости plt рг псевдо-евклидова. Поэтому временную ось можно выбрать в этой плоскости, так что /_l — пространственноподобный 4-вектор и р > 0.
Обозначим временно индексами 0, х компоненты 4-векторов в плоскости рг, р2, а индексами у, г — компоненты в нормальной плоскости. Для преобразования элемента 4-объема d*f =d2f Ld-fу к новым переменным пишем
d2f_i = | f х | d | f x | dcp = y dp dcp —*- я dp
(имея в виду, что подынтегральное выражение в (135,9) не зависит от угла ф). Далее,
^ii== Т^Г^Г dudv = \P™P*x — P™Pix\dudv « j\q2\dudv.
Действительно ввиду малости квадрата pl имеем р\хжр\0, и поэтому
(P10P2.V — PioPixY « (Р10Р20 — P2xPix)2 = (Р1Р2Т = (-у-)? •
