Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
1) Снова напомним, что речь идет только о степенных асимптотиках, и потому можно не обращать внимания на логарифмические расходимости при интегрированиях. Мы вернемся к более подробному исследованию диаграмм вида (134,9) в § 137.
G60
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[Гл. XII
В. Я. Грибов, Л. Я. Липатов, Г. В. Фролов, 1967; Я. Cheng, Т. Т. Wu, 1969).
В качестве другого примера рассмотрим комптоновское рассеяние, описываемое двумя диаграммами (74,12). Эти диаграммы не допускают рассечения в /-канале, но вторая из них рассекается в и-канале по внутренней электронной линии; в обозначениях этого параграфа она имеет вид
&-----г*—*
Рз
РГР4
V-------
Рг
(134,10)
Это значит, что рассеяние сосредоточено в основном вблизи направления назад (как это уже было отмечено в конце § 86; см. (86,20)). Для нахождения асимптотики в этой области замечаем, что множитель G, отвечающий внутренней линии диаграммы (134,10), имеет порядок величины 1/у (рх — р4) со J]У~\ и |. Поэтому амплитуда рассеяния Mfi оо a (s/| и |)в нее введен множитель а в соответствии с тем, что диаграмма (134,10) — второго порядка. Отсюда дифференциальное сечение: do/du со а?/\ и | s. Интеграл этого выражения по \и\ определяется областью значений |a|<^s. В результате полное сечение убывает с ростом энергии по закону acoa2/s (точнее о со (a2/s) In (s/m2); ср. (86,20))х).
Но для этого процесса радиационные поправки меняют асимптотику. Это изменение возникает за счет диаграмм шестого порядка типа
Ps
<—
1*-
Р,
Л
-
(134,12)
Они допускают в /-канале рассечение по двум внутренним фотонным линиям и потому дают вклад в амплитуду с асимптотикой Мл со a3s/t; множитель а3 отвечает шестому порядку диаграммы. При достаточно больших s эта часть амплитуды становится основной и тогда дифференциальное сечение
do/dt со а6//2.
*) Точный вид зависимости сечения от \и \ или |/| при их значениях ^т2, разумеется, не может быть выяснен на основании излагаемых соображений. Подразумевается, что интеграл по \и \ (или по | 11) сходится на значениях — т2. Это действительно так для всех процессов, за исключением упругого рассеяния заряженных частиц.
§ 134]
АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
6G1
Интеграл этого выражения по t определяется областью малых значений | г11 — т3, т. е. областью углов рассеяния 0 ~ т/УТ (обратим внимание на то, что рассеяние происходит теперь в основном в направлении вперед, а не назад). В результате полное сечение перестает убывать с энергией:
о соае/т2 = а*г% ' (134,13)
Убывающая часть сечения сравнивается с этой его постоянной частью при e = ]/s сот/а2.
Аналогичная ситуация имеет место для рассеяния света на свете. В первом неисчезающем приближении оно описывается «квадратными» диаграммами (127,1), которые могут быть рассечены по двум внутренним электронным линиям. По 4-импульсу этих линий в диаграмме производится интегрирование, причем существенны импульсы ~ ]/s, и малые значения t (или и) ничем не выделены. Поэтому асимптотика этих диаграмм при любом t= =const (или « = const) дается законом (134,5): Mf! = const оо а2. При этом полное сечение убывает с ростом энергии: cr оо a4/s (ср. (127,23)); углы, близкие к нулю или к я, здесь никак не выделены. Но в восьмом порядке появляются диаграммы, допускающие рассечение (в t- или в и-канале) по двум внутренним фотонным линиям, например,
---------ft- —
(134,14)
Эти диаграммы приводят к постоянной асимптотике сечения: а со а*/тг при Уs m/a21).
Постоянная асимптотика для полного сечения — характерное свойство процессов рассеяния, диаграммы которых рассекаются (в t- или в ы-канале) по внутренним фотонным линиям. Это свойство имеет место и в тех случаях, когда в конечном состоянии реакции возникает более двух частиц.
Сечение когерентного рассеяния фотона в поле ядра имеет постоянную асимптотику уже в первом неисчезающем приближении, описываемом «квадратными» диаграммами, два из концов которых — линии внешнего поля (см. (128,7)). В действительности, однако, эти диаграммы должны были бы изображаться в виде (134,12), где верхняя сплошная линия была бы линией ядра. Линии внешнего поля становятся тогда внутренними линиями диаграммы и происхождение постоянной асимптотики становится очевидным.
662
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[Гл. XIII
§ 135. Выделение дважды логарифмических членов в вершинном операторе
Поправки вида (aL)“ (где L — большой логарифм) могут стать существенными, как уже было отмечено в конце § 133, лишь при фантастических энергиях и потому имеют только теоретическое значение. Но в амплитудах реальных процессов рассеяния возникают также и гораздо большие поправки — вида (aL2)'1. Такие члены, содержащие по квадрату логарифма на каждую степень а, называют дважды логарифмическими.
Характерным параметром разложения в дважды логарифмических поправках является величина
где е —фигурирующие в задаче энергии (скажем, суммарная энергия сталкивающихся частиц в системе их центра инерции). Условие применимости теории возмущений требует малости этой величины; оно нарушается при энергиях
Поставим себе целью освободиться от этого условия и получить формулы, применимые при условии
