Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Mfi = const. (134,5)
Как ясно из характера вывода, эти результаты относятся не только к первому неисчезающему, но и к высшим (т. е. с учетом радиационных поправок) приближениям теории возмущений — если только не обращать внимания на логарифмические (вида In (s/m2)) множители; зависимость от безразмерных логарифмов, разумеется, не может быть выяснена из соображений размерности1).
Иная ситуация возникает, если увеличивать s при фиксированном t, т. е. при фиксированном квадрате передаваемого импульса. Другими словами, рассматривается рассеяние на малые,
]) Суммирование рядов, содержащих логарифмические поправки, может привести к экспоненциальной зависимости от логарифмов, что означает изменение показателя степенной зависимости. Это изменение, однако, мало в силу малости а.
658
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[Гл. XIII
убывающие с ростом энергии углы:
s —^ оо, 1/1 ~ s0'2 = const, 0 ~ (| / J/s),/г. (134,6)
В таком случае соображения размерности позволяют утверждать лишь, что суммарная степень 1/s и 1,7 в do/dt равна двум (а в амплитуде Mfi — нулю)1). Поэтому для нахождения наименее быстро убывающей с ростом s части сечения надо выделить множитель, зависящий от 1,7 в наибольшей степени. Но такие множители возникают, лишь если фейнмановскую диаграмму можно разделить между концами 1, 3 и 2, 4 на две части путем пересечения линий виртуальных частиц. Суммарный 4-импульс таких линий равен р1 — р3, от чего и возникает зависящий от t = (p1 — рзу множитель. Таким образом, асимптотика диаграммы в области (134,6) зависит от характера возможных пересечений диаграммы в /-канале.
Аналогичным образом асимптотика в области
s —оо, | u 1 ~ s (я — 0)2 = const, | я — 0 ] ~ (] u |/s)‘/», (134,7)
отвечающая рассеянию на углы, близкие к я, определяется характером возможных пересечений диаграммы в ы-канале (т. е. между концами 1, 4 и 2, 3).
Простейший пример — рассеяние электрона на электроне, описывающееся двумя диаграммами (73,12) и (73,14). Из них рассечение в /-канале по линии виртуального фотона допускает первая; она и определит асимптотическое поведение амплитуды рассеяния в области (134,6). Линии виртуального фотона отвечает D-функция, пропорциональная 1,7. Поэтому асимптотики амплитуды и дифференциального сечения рассеяния:
Mfi оо s//, da оо dt/t*. (134,8)
Асимптотика же в пределе (134,7) (вблизи направления назад) определяется «обменной» диаграммой (73,14); в этом пределе
Mfi со s/ u, do оо du/u2.
В случае взаимного рассеяния различных частиц (электрон и мюон) обменная диаграмма отсутствует; поэтому для него сечение рассеяния на углы 0«я убывает по закону (134,3—4)2).
Покажем, что эти результаты для асимптотики рассеяния электрона на электроне не меняются и при учете радиационных поправок. Для этого рассмотрим поправки различного рода к диаграмме (73,13).
Мы проводим рассуждения, предполагая постоянное значение | 11 от2. Получающиеся таким образом результаты остаются справедливыми — в смысле зависимости от s (х. е. от энергии) — и при |?|—от2.
2) Все эти утверждения находятся, конечно, в согласии с результатами § 81 — см. (81,11) и задачу 6.
§ 134J АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
659
Мы уже видели, что диаграммы, представляющие собой поправки к внутренней D-функции (см. (113,11)) или к вершинным частям (см. (117,1)), приводят лишь к логарифмическим поправкам в амплитуде; они не меняют степенной зависимости (134,8). Покажем, что то же самое относится к диаграмме, допускающей рассечение по двум (вместо одной) внутренним фотонным линиям:
рг Р!+Ч Р;
Л-, А* 1 ? 1 у
р* Рг-V Рг
Соответствующая этой диаграмме амплитуда рассеяния отличается от амплитуды, отвечающей диаграмме (73,13), заменой множителя 1// на
(ViPi + q)) (У (Р2 — я)) Л47
(pi+q)2 (Р2—я)'2 я2 (Рз—Pi—я)- 4
с последующим интегрированием по d?q. Существенная область интегрирования —та, которая приводит в результате к наименьшей степени 1/s. Для этого во всяком случае q должно быть мало по сравнению с /?,, р2. Отбрасывая малые в этом смысле члены (а также члены р\= р\ = /л2), перепишем это выражение как
_______(YPi) (УРг)____
(РгЯ) (РгЯ) Я2(Рз — Pi — Я)2 ''
Знаменатель не будет содержать s, если q0 и qx (ось х — по направлению р, = — р2) будут оо 1 j]/ s , а компоненты q , qz могут быть счз У\ 11; тогда область интегрирования col/s. Числитель же имеет порядок величины р,р2оos. Таким образом, замена одной внутренней фотонной линии в диаграмме на две не меняет ее зависимости от s (при заданном Z)1). Другими словами, вклад диаграммы (134,9) в амплитуду рассеяния следует тому же асимптотическому закону (134,8), что и вклад основной диаграммы. Положение не изменится при добавлении в диаграмме еще и других параллельных внутренних фотонных линий, а также при введении поправок к внутренним электронным линиям.
Этот результат имеет общий характер: всякой диаграмме, которая может быть разрезана в /-канале или в u-канале на две части путем пересечения любого числа внутренних фотонных линий, отвечает вклад в амплитуду с асимптотикой соответственно Mfioos/t при / = const или s/u при u = const (В. Г. Горшков,
