Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 227

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 221 222 223 224 225 226 < 227 > 228 229 230 231 232 233 .. 247 >> Следующая

В то же время следует подчеркнуть, что в квантовой электродинамике описанные трудности могут иметь лишь чисто теоретическое значение. Они возникают при фантастически огромных энергиях, не представляющих никакого реального интереса1). Можно ожидать, что в действительности уже несравненно раньше электромагнитные взаимодействия «запутываются» со слабыми и сильными взаимодействиями, в результате чего чистая электродинамика теряет смысл2).
В заключение этого параграфа покажем, каким образом формулы (133,3—4) могут быть получены с помощью простых рас-суждений, основанных на смысле понятия перенормировки и на соображениях размерности (М. Gell-Mann, F. Low, 1954).
Рассмотрим квадрат затравочного заряда как функцию параметра обрезания, е^(Л2), и введем функцию d, определяющую соотношение между значениями г\ при двух различных значениях ее аргумента: г\ (Ajj) = е2с (Л?) d. При Л?, Ajj^m2 функция d не зависит от т; будучи безразмерной величиной, она может быть функцией только безразмерных же величин e”(Af) и A1/AJ:
От этого функционального соотношения можно перейти к дифференциальному уравнению. Для этого напишем равенство (133,6) для бесконечно близких значений Л? и Л^. Обозначив Af = | и положив А1 = Е;-М?> получим для функции ас (?) = е® (Af) следующее дифференциальное уравнение:
*) Так, равенство (а/л) In (e2/m2) = 1 достигается при е ~ 10эз т.
2) Противоположная ситуация имеет место в теориях, в которых взаимодействие между частицами осуществляется не электромагнитным полем, а так называемыми полями Янга—Миллса. Связь перенормированного заряда с затравочным в таких теориях дается формулой типа (133,4), но с обратным знаком в знаменателе, так что при заданном значении е2 затравочный заряд е\ уменьшается с ростом Л. Такое свойство теории называют асимптотической свободой. Разумеется, теория с асимптотической свободой принципиально отличается от теории с нулификацией заряда.
(133,6)
dac = ср (а,) -
(133,7)
656
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[Гл. XIII
Здесь введено обозначение
ф = (133>8)
и учтено, что, по определению (133,6), d(ac, 1)=1. Интегрируя уравнение (133,7) в пределах от ? = Л| до f = Л1, получим
4 (Лг)
In 41-= f (133,9)
Ai J rc (а)
4 (л!)
Во всей области интегрирования е\ мало. Поэтому можно воспользоваться для ср (а) выражением, отвечающим первому приближению теории возмущений. Поправка к затравочному заряду, е\, дается величиной е^2^*(^2). Взяв для поляризационного оператора его выражение первого приближения (132,1), найдем
<i(a„ »W-|-
после чего интегрирование в (133,9) приводит к результату
4-1п4 = -т±^------------* . (133,10)
Зл Ai е? (Л?) el{\$
При Л?-—>-~т2 затравочный заряд ес(Л^) стремится к истинному заряду е, и тогда (133,10) совпадает с (133,3 —4)х).
§ 134. Асимптотическое поведение амплитуд рассеяния при высоких энергиях
Рассмотрим вопрос об асимптотическом (при высоких энергиях) поведении амплитуд и сечений двухчастичных процессов рассеяния (1 + 2 ->-3 + 4). Для основных электродинамических процессов в первом (по а) неисчезающем приближении ответ на этот вопрос может быть найден исходя из полученных в предыдущих главах конкретных формул, справедливых при любых энергиях. Здесь, однако, мы рассмотрим этот вопрос с более общей точки зрения, которая позволит находить такие асимптотики прямым способом.
Как и в § 66, введем инвариантные переменные
s = (Pi + P2)2. t = (Pi-p3Y~, w = (/?i-A»)2 (134,1)
]) Систематическое развитие метода, основанного на использовании функциональных свойств пропагатсров и вершинных частей (так называемый метод ренормзлизационной группы), дано в книге: Боголюбов Н. //., Шир-ков Д. В. Введение в теорию квантованных полей,— М.: Наука, 1976,
134] АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
657
(причем p1Jrp2 = p!l + piy, обозначения соответствуют реакциям в s-канале, которые мы и будем рассматривать. В ультрарелятивистском случае, когда энергии много больше масс частиц, в системе центра инерции энергии обеих частиц приближенно одинаковы. Обозначив посредством е сумму энергий сталкивающихся частиц, имеем в этой системе р1 = (е/2, pj, р2 = (е/2, —pj, Рз — (е/2. Рз), Pi = (е/2, — Рз), Pi = pis = e2/4, и тогда
s = е2, t = — -|-(1 — cosQ), и = —|-(l+cos0), (134,2)
где 0 — угол между pf и р3.
Рассмотрим сначала асимптотику сечения реакции при некотором фиксированном значении угла рассеяния 0. Тогда все три переменные s, t, и пропорциональны друг другу и устремляются к бесконечности вместе. В ультрарелятивистском случае массы частиц не могут войти в ответ, и единственной величиной размерности длины является 1 /г(—fic/e). Поэтому уже из соображений размерности следует, что дифференциальное сечение двухчастичных реакций уменьшается с ростом энергии по асимптотическому закону
da/do col/s при s, |/|, |ы|—»оо. (134,3)
Если относить сечение не к элементу телесного угла do, а к дифференциалу dt, то (поскольку docodt/s)
da/di со 1/s2. (134,4)
Сечение выражается через амплитуду рассеяния (в ультрарелятивистском случае) как da/do cv | Mfi | 2/s — см. (64,22 — 23). Поэтому закон (134,3) означает, что в асимптотическом пределе амплитуда рассеяния не зависит от s:
Предыдущая << 1 .. 221 222 223 224 225 226 < 227 > 228 229 230 231 232 233 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed