Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
р* ч>»_ “ т^1П-4.
4я ‘ т1
J) Во избежание недоразумений при сравнении с результатами § 117 напомним, что в § 117 оба электронных конца диаграммы предполагались физическими, между тем как здесь предполагается р2 | к2 | т2, т. е. обе линии зачедомо не физические.
652
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[Гл. XIII
В калибровке же Ландау вместо (132,10) получим интеграл
Произведя усреднение по направлениям рх и приведение матриц у, найдем, что этот интеграл обращается в нуль, так что логарифмический член в Гц (1) выпадает1).
В поправках второго (по а) порядка рассмотрим диаграмму
При обычной калибровке D-функций этот интеграл содержит член с квадратом логарифма, происходящий от области интегрирования
р1^>р1^>рг- (132,11)
Действительно, после пренебрежения ра в аргументе функции DvP(pa— Pj) интегрирование по й^рх становится таким же, как в (132,9), и дает 1п р\\ последующее же интегрирование по d*p2 снова имеет логарифмический характер и приводит к квадрату In2(pt/m2). При выборе же для D-функций калибровки Ландау в обоих интегрированиях логарифмические члены выпадают.
Такая же ситуация имеет место для всех других диаграмм, входящих в скелетную диаграмму
Соответствующий интеграл:
Ги «> = - a2 J y>G (pt) yvG (Pl) f'G(Pl) f-'G (рг) у” X
xDvp (р2 —pj Dia (р — рг)?.Рл1?Р*.
(132,12)
Поправки к G-1 в обеих калибровках, найденные из поправки П1* с помощью тождества (108,8), согласуются, конечно, с результатами § 119.
§ 133] СВЯЗЬ МИЖДУ «ЗАТРАВОЧНЫМ» II ИСТИННЫМ ЗАРЯДАМИ 653
Диаграммы же других типов, с пересекающимися фотонными линиями, например, входящие в скелетную диаграмму
(ср. (106,11)), вообще не содержат членов с нужной степенью логарифма ни в какой калибровке (в них нельзя выделить такую область значений переменных, в которой интеграл сводился бы к нескольким последовательным логарифмическим интегрированиям).
Эти рассуждения (и аналогичные для следующих членов разложения Г по степеням k) подтверждают, что в калибровке Ландау не возникает поправок к $ и Г с нужными степенями логарифма, так что выражение (132,1) действительно справедливо и при условии (132,3).
Функция ?3 (/г2), соответствующая поляризационному оператору (132,1), имеет вид
В силу условия (132,3) разлагать это выражение по степеням а нет необходимости.
§ 133. Связь между «затравочным» и истинным зарядами
Применимость формулы (132,14) ограничена, однако, со стороны больших | № | в связи с уменьшением ее знаменателя. Действительно, вывод этой формулы основан на пренебрежении диаграммой (132,13) (и другими, с еще большим числом жирных фотонных линий) по сравнению с диаграммой (132,12). Но добавление каждой такой линии привносит в диаграмму множитель e2?Z> с точным пропагатором При этом роль малого параметра играет, вместо а = е2, величина
(132,13)
(132,14)
а
1*21 ^L
(133,1)
Когда, по мере возрастания |&2|, эта величина по порядку сравнивается с единицей, из теории, по существу, вообще исчезает малый параметр.
654
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[Гл. XIII
Возникающую ситуацию можно понять более ясно, если при выводе (132,14) производить перенормировку не «на ходу», а путем предварительного введения «затравочного» заряда электрона ес, который в дальнейшем подбирается так, чтобы привести к правильному наблюдаемому значению физического заряда е (§ 110). Если интеграл «обрезается», как это было сделано выше, на вспомогательном верхнем пределе Л2, то затравочный заряд будет его функцией, ес — ес(А2), и в заключение должен быть произведен переход к пределу Л-^со.
При таком способе подхода к задаче поляризационный оператор будет
*ЧП тгг
(выражение (132,8) с ес вместо е), и соответственно
= ^--------г1—г; ¦ (133,2)
Определив теперь физический заряд е согласно условию
4я
~W
получим
е\3) (кг) —> ~ е2 при k2 ¦
Зл tn2
Л2 ’
или
-?11 ill Зл т2
(133,3)
(133,4)
Если формально перейти в (133,3) к пределу А —оо, то е2 —> О независимо от вида функции <??(Л). Такая «нулификация» заряда означает, разумеется, невозможность строгого проведения перенормировки. Этот переход к пределу нельзя, однако, произвести, не нарушив предположений, сделанных при выводе (133,3). Из
(133,4) видно, что по мере увеличения А (при заданном значении е2) егс растет; но уже при е2 ~ 1 формулы теряют свою применимость, поскольку их вывод основан на предположении
е?<^1 (133,5)
как условия применимости теории возмущений к «затравочному» взаимодействию. Нарушение неравенства (133,5) при увеличении Л имеет важное принципиальное значение. Оно означает логическую неполноту квантовой электродинамики как теории со слабым взаимодействием. По существу это означает логическую непол-
§ 1331
СВЯЗЬ МЕЖДУ «ЗАТРАВОЧНЫМ» II истинным зарядами
655
ноту имеющейся теории вообще. Действительно, весь ее аппарат связан именно с возможностью рассматривать электромагнитное взаимодействие как слабое возмущение. Все вычисляемые величины получаются в теории в виде рядов по степеням е2, причем эти ряды являются в действительности асимптотическими. Для придания этим рядам определенного смысла при не малых значениях е\, во всяком случае, требовались бы дополнительные соображения, не следующие из общих принципов существующей теории.
