Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 223

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 217 218 219 220 221 222 < 223 > 224 225 226 227 228 229 .. 247 >> Следующая

(130,15)
(130,16)
!) Поправки же, связанные с учетом неколлинеарности в диаграммах (130,15), дали бы в амплитуде вклад следующего порядке по а по сравнению с вкладом от диаграмм (130,16).
642
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
амплитуда строится уже с тремя множителями F^v. Такие скалярные произведения мзгуг быть отличны от нуля. Но все отличные от нуля произвед-ння содержат волновые векторы фотонов только через посредство тензоров /\tv; легко сообразить, что добавление еще и других множителей k приведет к появлению в произведении равных нулю множителей к2 или ке. Но компоненты тензора совпадают с компонентами напряженностей Е' и В' поля фотона. Эго значит, что если амплитуду распада, отвечающую диаграммам (130,15), представить как матричный элемент некоторого оператора, то этот оператор, будучи выражен через операторы напряженностей полей фотонов, не зависит от их частот. В свою очередь, отсюда следует, что вычисление амплитуды распада (отвечающей диаграмме (130,16)) с помощью лагранжиана (129,17) даст правильный ответ, не ограниченный условием о)<<;/«.
В конце § 127 было объяснено, каким образом гамильтониан взаимодействия получается из найденной в § 129 лагранжевой функции L. Теперь речь идет о процессе с участием трех фотонов, и соответствующий оператор взаимодействия получается из членов разложения L, содержащих тройные произведения полей фотонов Е', В'. При этом надо рассматривать только член вида
(В'В0) (Е'В0)2, (130,17)
в который каждый из векторов В' и Е' входит умноженным скалярно на В0. Действительно, произведения Е'\ В'\ Е'В' происходят, в четырехмерной записи, от скаляров вида fy.vflLV, которые в коллинеарном приближении тождественно обращаются в нуль. Тот факт, что выбран член именно с одним множителем В' и двумя Е', связан с тем, что рассматривается процесс с одним
II -фотоном и двумя _]_-фотонами; у первого составляющую вдоль В0 имеет поле В', а у последних—поле Е'.
Функция Лагранжа L выражается через инварианты ? = (В2 —
— Е)2/2 и $ = ЕВ. Нужный нам член разложения получается из члена сп?%‘\ Вычисление с помощью (129,17) дает для последнего выражение
630л2т8 ^ * •
Положив В = В0 + В', Е = Е' и взяв из ? слагаемое В0В', а из $ —слагаемое В0Е', получим искомый член разложения вида
(130,17). Таким образом, оператор трехфотонного взаимодействия, приводящего к распаду у и —н"Yn + Yai. дается выражением
^(3)=шёУ (М')**. О30’18)
§ 130]
РАСЩЕПЛЕНИЕ ФОТОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
643
где ^ ___
В' = i V4л [ке и ] е‘ <кг-“г'> Ск м,
Е[ — — iV 4л (kjr-co^) с+
и аналогично для Щ; ср. (127,26—27) 1).
Согласно изложенным в § 64 правилам, амплитуда распада Mfi вычисляется по определению
Sfi = (f\ J Vmdt\i) = (2n)*8^(k — k1-ki)Mfl
и равна
M;i = — i з]|^8 (4п)а/2 (ocOitOoBg sin3 0
(0 —угол между к и В0). Вероятность распада в единицу времени (см. (64,11)):
dw = (2п)*б (к - к, - к2) б (со - со, - со2) | Mfi |*
(лишний множитель 1/г учитывает уменьшение фазового объема за счет тождественности двух конечных фотонов). Первая б-функция устраняется интегрированием по d3k2. Для устранения второй б-функции замечаем, что при пренебрежении дисперсией:
со—coj — со2 = k — kx — | k — kx | «—(1 —cos-&j) и потому 2)
(0 I
jj ^ o)o1o)26 (co — ©j — (o2) d cos • 2 mo? = о о
(0
= 2л ^ co|(co — cox)2dcoj = ^co5. 0
Окончательно находим для полной вероятности распада фотона в единицу времени (обычные единицы):
а3 / 13 \ 2 me2 / fm \» / В0 sin 9 \ в
W~ 15л2 \315/ % V тс2 ) ^ 5кр ) ~
(150’|9)
*) Удвоение коэффициента в (130,18) — за счет того, что Ei и Ег могут быть взяты из каждого из двух множителей Е' в L.
2) При этом подразумевается, что при учете дисперсии аргумент 8-функ-
ции действительно обращался бы в нуль при некотором cos < 1. Таким образом, дисперсия требуемого характера необходима для того, чтобы распад
был возможным, но сама вероятность распада от величины малой дисперсии
не зависит.
644
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
Как уже упоминалось, применимость этой формулы не требует условия ®<<ст. Она ограничена лишь условием малости членов, отвечающим диаграммам восьмого порядка. Для оценки заметим, что в матричном элементе восьмого порядка может иметься, например, член, отличающийся от членов шестого порядка безразмерным инвариантным множителем вида (eF^kJm3)2. Условие его малости приводит к весьма слабому условию
со<с\т (т“/1 е | В0).
§ 131. Вычисление интегралов по четырехмерным областям
Сведем здесь некоторые правила и формулы, полезные для вычисления интегралов, возникающих в теории радиационных поправок.
Типичная формула интеграла, отвечающего диаграмме Фейнмана:
Г (131,1)
J «1«2 ¦ ¦ • ап v » /
где аи а2, ...—полиномы второй степени по 4-вектору k, f(k)— полином какой-либо степени п', а интегрирование производится по всему четырехмерному ^-пространству.
Удобный метод вычисления таких интегралов (принадлежащий Фейнману, 1949) основан на предварительном преобразовании (параметризации) подынтегрального выражения путем введения дополнительных интегрирований по вспомогательным переменным |2, ... согласно формуле
Предыдущая << 1 .. 217 218 219 220 221 222 < 223 > 224 225 226 227 228 229 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed