Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
начальных условий доказана.
Теперь, используя результаты теории многомерных гамильтоновых систем,
изложенные в пятой главе, проведем еще анализ с точки зрения формальной
устойчивости. Если в системе нет резонансов до четвертого порядка
включительно, то функция Гамильтона, нормализованная до членов четвертой
степени относительно qt, pi включительно, будет иметь вид (6.1) и
знакоопределенность квадратичной формы с20г2 ф спггг2 + с02г2 в квадранте
гх > 0, г2 > 0 является достаточным условием формальной устойчивости
[138]. Сначала рассмотрим случай отсутствия резонансов до четвертого
порядка включительно.
Итак, пусть р ф р<(r)>, где р<°> - резонансные значения параметра р,
приведенные в табл. 2 и 3, а эксцентриситет е - малая величина.
Знакоопределенность квадратичной формы с20г\ + + спгхг2 + с02г2 при е = 0
будет достаточным условием формальной устойчивости при 0 1.
Так как при е - 0 для нерезонансных значений р (р Ф рх, р Ф р2) из
области (2.3) величина сХ1 - 4с20с02 положительна, то условие
знакоопределенности рассматриваемой квадратичной формы означает,
очевидно, одинаковость знаков коэффициентов сц нормальной формы (6,1) при
е = 0. Все коэффициенты сг] имеют одинаковый знак (именно, положительны)
в следующем интервале изменения р (см. формулы (4.6) седьмой главы, а
также рис. 6):;
0,02429438 . . . = рх < р <р* = 0,0385208 .- . . (6.3)
Таким образом, мы показали, чтоб области устойчивость в первом
приближении при р, лежащем в интервале (6.3), и пни значениях р, е, не
принадлежащих резонансным квивым третьего и четвертого порядков,
треугольные точки: лиованйй формально устойчивы, если эксцентриситет
достаточно мал;
.Если мы рассмотрим члены выше, четвертого порядка в разложении функции
Гамильтона в ряд относительно координат и
6 А. П. Маркеев
162
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 9
импульсов возмущенного движения,то можно показать формальную устойчивость
для почти всех значений параметра р из оставшегося интервала 0 <; р < Pi-
Пусть р лежит в этом интервале и при е = 0 не выполнены резонансные
соотношения до шестого порядка включительно (соответствующие резонансные
значения параметра pW приведены в табл. 5 и 6).
Таблица 5
Резо- нанс SX*= - 1 *,1+ 4^2 - 0 Aii- 4^,2= 2 2Xi+ +ЗХг=1
со'4'5 II 1 СО 3Xi-[- +2X2=2 5Х,2= - 2 6Х2= - 1 О +
р(°> 0,0057 0,0083 0,0093 0,0124 0,0190 0,0190
0,0203 0,0040 0,0055
Таблица 6
Резо- нанс /(1 -5Я<2=2 2 (Х,+ +2Хг)=> 2(Х,-- 2Хг)=3 3 (>.i+ +
Хг) = 2 2 (2Xi+ + Хг) == 3 >.1+ + 5Х,=-1 5Xi- - %2= 5 X.- -
5Хг= 3 3(Х,--Х.) = 4
р<°> 0,0059 0,0078 0,0100 0,0115 0,0173 0,0190
0,0190 0,0218 0,0229
Тогда нормализованная до членов шестого порядка включительно функция
Гамильтона имеет вид
Н = Vi + Кг2 + с20г21 + Спггг2 + c02rl + с30г? + с21г\г2 +
+ спгА + c03rl + О ((?т + г2)'/"). (6.4)
Если при ?т > 0, г2 > О и е = 0 система уравнений
с2А + cnrjr2 + c02rl = О,
(6.5)
Cgorl ~Ь ^2тПГъ ^12Г1Г2 + С03Г2 = О
не имеет решений, кроме тривиального = г2 = 0, то для достаточно малых е,
совершенно аналогично тому, как это сделано в § 3 предыдущей главы, можно
доказать формальную устойчивость точек либрации для всех рассматриваемых
сейчас параметров, за исключением, быть может, точек (е, р),
соответствующих двукратному рееонансу к'1к1 + к2Х2 = N', 4^ + к2к2 = N*t
(| kt | +
+1 *21 > 7, | *; | +1 *; | > 7).
В рассматриваемом сейчас интервале (6.3) изменения параметра р ненулевые
решения первого уравнения системы (6.5) можно записать в таком виде:
rt = ах(р)г2, гх = а2(р)г2.
(6.6)
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
163
Расчеты показывают, что а^р) 0 во всем интервале (6.3), а аг - только в
части этого интервала при 0 <р <р** = 0,01574... Таким образом, в
интервале 0 < р < р** первое уравнение системы (6.5) имеет две серии
нетривиальных решений = ак (р)га (к =1, 2), а в интервале р** <р <Pi -
одну серию решений
= ах(р) г2.
Чтобы выяснить вопрос о совместности системы (6.5), подставим решения
первого уравнения гх = акг2 во второе уравнение. Тогда получим второе
уравнение в виде Gk (р).г| = 0. Если Gk(ц)ф0 (к - 1, 2), то система
уравнений (6.5) имеет только тривиальное решение. Расчеты показали, что
функция Gx = 0 при р = р' = = 0,00861... и р = р" = 0,01656..., a G2
обращается в нуль только при одном значении р = р'" = 0,00509...
Таким образом, результаты аналитического исследования формальной
устойчивости при нерезонансных значениях параметров е и р можно
сформулировать в виде такого утверждения.
Теорема. Если эксцентриситет достаточно мал, то в области устойчивости в
первом приближении при значениях р, не равных резонансным значениям р<0\
приведенным в таблицах 2, 3, 5, 6, и при р, не равных р', р", р(r)', а
также, быть может, значениям р из интервала (0, рх), соответствующим
двукратному резонансу выше шестого порядка, точки либрации формально
устойчивы.
§ 7. Численное исследование при произвольных е и р
Если значения эксцентриситета не малы, то исследование устойчивости
