Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беляшкин А.Г. -> "Методика решения задач механики" -> 57

Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.

Беляшкин А.Г., Матвеев А.Н., Сараева И.М. Методика решения задач механики — МГУ, 1980. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikaresheniyazadachmehaniki1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 203 >> Следующая

где коэффициент а1л = 1,355 + О (е2) и при достаточно малых е отличен от
нуля. Поэтому (см. § 4 главы 5) для значений р, е, лежащих на резонансной
кривой Ях + 2Я2 = 0, при достаточно малых е лагранжевы решения
неустойчивы.
В случае резонансов ЗЯ2 = -1 и 2Ях + Я2 = 1 нормализованная функция
Гамильтона имеет соответственно такой вид:
Я = ЯхРх + Я2р2 + ер2КЙ/о,з sin (302 + v) + g0i3cos (302 + v)] +
+ О ((Рх+ р2)2)"
г- г*-5)
Я = XjPx + Я2р2 + ерхУ р2[/2,х sin (20х + 02 - v) +
+ gt,i cos (201 + 02 - v)] + О ((pi -f p2)2).
Значения коэффициентов на соответствующих резонансных кривых таковы:
/0>3 = 2,521 + О (е), go,s = 0,780 + О (е),
/2>1 = -6,939 + О (е), g2,i = 2,372 + О (е).
РЕЗОНАНСЫ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
159
Делая замену переменных, аналогичную (4.3), получим функции Гамильтона
(4.5) в виде, аналогичном (4.4). При этом коэффициент а*, *,= Y/|, к + g%
кг при малых е не будет равен нулю. Следовательно, на резонансных кривых
ЗХ2 = -1 и 2Хх + Х2 = 1 при достаточно малых е лагранжевы решения
неустойчивы.
§ 5. Об устойчивости при резонансах четвертого порядка
В этом параграфе исследуется устойчивость лагранжевых решений при
резонансах четвертого порядка. Резонансы Хх - ЗХ2 = 2 и ЗХх - Х2 = 3 при
малых значениях е не могут привести к неустойчивости при учете в
нормальной форме функции Гамильтона членов не выше четвертого порядка
относительно координат и импульсов [157].
Рассмотрим резонанс Хх ЗХ2 = 0, обнаруживающийся уже в круговой задаче.
На резонансной кривой Хх -f ЗХ2 = 0 нормализованная функция Гамильтона
получается такой:
Н - Я-iPi "I- Х2р2 ~Ь ^20pi ~Ь cnPjP2 ~Ь с02р2
- Рг VР1Р2 [/1,3 sin (01 + 302) + glt8 cos (0Х + 302)] +
+ О ((Pl + р2)Ч
где коэффициенты с точностью до величин порядка ё1 имеют следующие
числовые значения:
с20 = 0,138, сп =-2,177, с02 = 0,247,
/lf, = 1,461, gl, 3 = 4,235.
Делая замену переменных
Рг = 7?г, 01 = Xxv + fi + у, 02 = X2v +
где у = -arcsin gi,3/(81,з + /i,s)'/2- получаем функцию Гамильтона в виде
Н = сг{Д\ + CyyRyR2 + cQiR\ + blt8R2 VRyR8 sin + Зф2) +
" +О ((Ry + Rt)'b).
Для этой функции
3)/У| 6li3 | = 23,283 + О (е2),
1-в.о + Зсц + 9с03 | = 4,171 + О (е2).
Поэтому при достаточно малых е условие неустойчивости (см. § 5 главы 5)
выполняется и справедливо следующее утверждение: при значениях р, е,
принадлежащих резонансной кривой Xj + + ЗХ2 = 0, для достаточно малых е
лагранжево решение неустойчиво.
160
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 9
Теперь проверим выполнимость условий неустойчивости для остальных
резонансных кривых четвертого порядка. Значения величины с20к\ -j- сикук2
-f- сй2к\ с точностью до величин порядка е2 представлены в табл. 4.
Таблица.4
Резонанс ik,= 3 2(Х,+М=1 3Xi Хг - 2 Xi+ 3Xi= - 1 4*.,= - 1
cio^i ~Ь c\\kxk2 -|- с02/с2 465,621 -71,366 82,782 202,874
7,517
Замечая, что при е - 0 коэффициент при тригонометрическом члене
нормальной формы для этих резонансов обращается в нуль, получаем, что при
достаточно малых значениях е имеет место устойчивость в рассматриваемом
нелинейном приближении (при учете членов четвертого порядка в разложении
функции Гамильтона).
§ 6. Исследование устойчивостр
при нерезонансных значениях параметров
Теперь рассмотрим устойчивость для значений параметров е и ц, лежащих в
области устойчивости в первом приближении, но не принадлежащих
резонансным кривым третьего и четвертого порядков. При таких значениях
параметров функция Гамильтона возмущенного движения при помощи
преобразования Биркгофа может быть приведена к форме
Н = Vi + Кг2 + с20г\ + спггг2 + с02г| + О ((гг + г2)5/.), (6.1)
где с точностью до членов порядка е2 коэффициенты Сц вычисляются по
формулам (4.6) седьмой главы, а = оо1, = -со2.
Исследование устойчивости точек либрации при нерезонансных значениях
параметров е и ц мы начнем с доказательства следующего утверждения.
Теорема. В области устойчивости в первом приближении при |х,
принадлежащем области (2.3) устойчивости в круговой задаче, и при
значениях ц и е, не принадлежащих резонансным кривым третьего и
четвертого порядков, треугольные точки либрации в плоской эллиптической
ограниченной задаче трех тел устойчивы для большинства начальных условий,
если эксцентриситет достаточно мал.
Для доказательства достаточно проверить выполнимость неравенства Сц -
4с20с02 Ф 0 (см. § 1 главы 5) при е = 0. Пусть, как и в главе 8, и =
(о72(о22. Тогда в области (2.3) и^> 4. Использован'
НЕРЕЗОНАНСНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
161
явные выражения коэффициентов Сц через сох, со2, получим
Си - 4са°с#2 = 5184(4 -и)2 (25 -4и)2 ' (6'2)
где через g (и) обозначен многочлен третьей степени
g (и) = 107172U3 + 3298947н2 - 8799272н - 384400. Значения многочлена g
(и) и его производных при и = 4 таковы: g = 24060672, g1 = 22736560, g11
= 9170022, gul = 643032.
Так как все эти значения положительны, то многочлен g (и) при и^> 4
положителен и, следовательно, сХ1 - 4с20с02 Ф 0 при всех нерезонансных р
из области (2.3). Тем самым теорема об устойчивости для большинства
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed