Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беляшкин А.Г. -> "Методика решения задач механики" -> 56

Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.

Беляшкин А.Г., Матвеев А.Н., Сараева И.М. Методика решения задач механики — МГУ, 1980. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikaresheniyazadachmehaniki1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 203 >> Следующая

р"" 0,014853 0,024294 0,035385 0,035385 0,038026
-0,085955 -0,286514 0,103135 0,300928 0,110288
Таблица 3
Резонанс 4Х2= - 1 Xi~r 3/,,-. 0 Лц- ЗХг== 2 2 (Xi+ Хг) = 1
р<"> 0,008757 0,013516 0,016597 0,021286
-0,039023 -0,065356 -0,122576 -0,135998
Резонанс ЗХг-р Хг- 2 1 СО II л 1 1 со Х,+ ЗХ,= - 1 4Х,= 3
.0,031232 0,035385 0,035385 0,037894
р<*> 0,219357 -0,094658 0,169066 0,057200
линейной задачи построены резонансные кривые, которые были получены при
помощи численных расчетов на ЭВМ при произвольных е. Найдем уравнения
резонансных кривых при малых значениях эксцентриситета. Для этого и Л2
надо получить с
156
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 9
точностью до е2, так как величины %i \ Х4х> оказались равными нулю.
Величины к(tm), к2} найдутся из условий периодичности функ-. дий Sjqxo и
4ioi- Действительно, из (2.13)-(2.15) получаем такие
Рис. 14. Резонансные кривые.
дифференциальные уравнения для этих функций:
jg(2)
-= -2г cos V (4а002о4сюо Ч~ axoxosxoxo Ч~ axooisoxxo Ч~ aoonsxioo) Ч~
Ч~ cos2 vfl.1010 Ч~ ik ^s(2) (4-1)
0101 = - 2i cos v (4a0002So2oo Ч- aoxiosxoox Ч- aoioxsoxox Ч- aoonsiioo)
4~
dv
4" 2i cos2 vHqxox 4~
Подставив в правые части этих уравнений функции SvIvhiib-, и подобрав
k(i\ к22) так, чтобы постоянные слагаемые в правых частях были равными
нулю (условия периодичности $хохо и 4ш)> получим после некоторых
преобразований, использующих формулы (2.7), (2.10) и уравнение (2.2),
такие выражения для X(r) и Х|2):
.("_ %Д>2(6со2-7) "(2) со2со2(6со2-7)
1 4 (4со2 - 1) (2со2 - 1) ' 2 4 (4ш2 - 1) (2ш2 - 1) '
( ' '
Резонансная кривая Л^Хх Ч- к2к2 = N при малых е будет иметь уравнение
ц = р((r)> Ч- е2ц<2> Ч- . . ., где - точка, из которой на оси Ор начинается
резонансная
РЕЗОНАНСЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
157
кривая. Учитывая (2.15), для величин |х(2) получаем выражение
г dfOo afco, ' '
k2 Ли - *1
В этом выражении правая часть вычисляется при р, = р(9). Числовые
значения величины р<2) для резонансных кривых третьего и четвертого
порядков приведены в третьей строке табл. 2 и 3.
§ 4. Резонансы третьего порядка
Рассмотрим устойчивость лагранжевых решений при значениях параметров р,
е, принадлежащих резонансным кривым третьего порядка. При малых значениях
эксцентриситета резонанс 1, - 2к2 = 2 не может привести к неустойчивости,
если в нормализованной функции Гамильтона учесть все члены только до
третьего порядка относительно координат импульсов. Этот резонанс не
приводит к неустойчивости и при учете в гамильтониане членов четвертого
порядка, так как при 0 < е 1 резонансная кривая Хг - 2А2 = 2 не
пересекается с другими резонансными кривыми третьего и четвертого
порядков.
Исследуем оставшиеся четыре резонанса третьего порядка. Исследование
просто, хотя весьма громоздко. Основные трудности здесь связаны с
проведением нормализации Биркгофа. Мы не будем приводить подробно все
вычисления, так как они стандартны и очень громоздки. Укажем только на
основные моменты, связанные с применением преобразования Биркгофа, и
приведем конечный результат нормализации.
Во-первых, ясно, что коэффициенты нормальной формы функции Гамильтона
будут аналитическими функциями е. Во-вторых, замечая, что N-я гармоника v
входит в производящую функцию линейного нормализующего преобразования, а
также в ff, и Я4 с коэффициентом, пропорциональным эксцентриситету в
степени, не мепыпей N, получаем, что при резонансе + /с2Х2 = N отличие
коэффициентов Ъ^г в нормальной форме от нуля
может обнаружиться только в N-м приближении по е.
Таким образом, неустойчивость при резонансе ЗЯ0 = -2 не может быть
обнаружена, так как мы учитываем только первую степень эксцентриситета.
Резонанс + 2Х2 - 0 проявляется уже в круговой задаче (е = 0). При малых е
нормализованная функция Гамильтона будет иметь такой вид:
Н - ^,]Pj + Я2р2 -f- ~\/~p1p2[/li2 sin (0j 202) + gJi2 cos (0г -
j- 202)] -j-
+ О ((Pl + p2)2). (4.1)
Здесь и в дальнейшем через р;, 0; обозначаются новые канонические
переменные, введенные преобразованием Биркгофа. В
158 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 9
функции (4.1) приняты обозначения
/х, 2 = - ^fcaiblS_2- (36(0(r) -f- 245(0^ - 515(02 + 176(Oi(o2 +
192со2 V 2coj
+ 288(0!(о2 - 54) + О (е2),
УЗка^а^ " 2 з 4 2 (4-2>
gj 2 - ---_-:¦ (88(0х(02 -j- 448(о1(о2 -f- 74(0i(02 -j- 45(0x0)2 -
192о>2 V 2<Вх
-594(oa + 243(Ox) + 0(e2).
Далее, так как на резонансной кривой Ях + 2Я2 = 0 (как и на всех
резонансных кривых) при малых е отличие р от значения, соответствующего
порождающей точке р(0), проявляется только при е2, то, чтобы получить
значения /li2, gll2 вдоль резонансной кривой с точностью до величин
порядка е2, нужно в формулах
(4.2) положить р = р(0) = 0,024294. Получим
/1>2 = 1,322 + О (e2), g1>2 = -0,298 + О (е2).
Сделаем каноническое преобразование
рг = Ri, 0г = Xxv + фх + б, Э2 = X2v + ф2, (4.3)
где угол
б = - arcsin gl'2-----------
У f 1,9+
,2 1 61, 2
Теперь функция Гамильтона запишется в виде
Я = вх,2 VRiR2 Sin (Фх + 2ф2) + О ((Лх + Я2)2), (4.4)
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed