Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
частях, получим
DS3 = 0,
DS, = -H9 (фб J|it f), (3.6)
оя4=-дД<р"ё.<)-1,^г
8S,
'
Здесь через D обозначен оператор
D = Xi 4i+ ' ' '+ XnWn + it ¦
Так как Н2 имеет вид (3.4), то первому уравнению из (3.6) можно
удовлетворить функцией
|?2 = Гг (фх - -(- . . . -|- Гп (фп - Xnt). (3.7)
Из (3.1) следует, что при таком выборе S% начальные условия для Sm (фг,
Л, t) (т > 3) должны быть нулевыми. Покажем, как получить формы Sm в
явном виде.
Возьмем в правой части какого-либо из уравнений (3.6) два
одночлена вида
r°" [a sin (к, ф)+ 5 cos (к, ф)].
Здесь введены обозначения (к, ф) = А^фх -j- . . . -f А;"фп, г" =
(jOCl qOC2 0(r)" / /Ч ._ _
= гг г2 . . . гп (аг > 0, ах +...+<*" = т/2, 2а{ - целые
112 ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ [ГЛ. $
числа). Соответствующие одночлены в функции Sm ищем в виДе г°" [с sin (к,
ф) + е cos (к, ф)]. j
Для функций сие получаем систему неоднородных дифференциальных уравнений
%--(к ,X)e = a(t), d~ + (k ,X)c = b(t) (3.8)
((k, X) = кгХг -f- . . . -f- knXn), с (0) = e (0) = 0.
Решение этой системы имеет вид
с = f(t) cos (k, X) t -f g (t) sin (k, X) t,
(3.9)
e = -f(t) sin (k, X) t -f- g (t) cos (k, k) t,
где
t
f(t) = J [я (т) cos (k, X) x - b (t) sin (k, X) t] dx,
(3.10)
g(t) - 5 ta (t) s^n o** ^)т "Ь ^ (t) c°.s (^> Ti ^t-
Полагая теперь в (3.5) t = 2л, получаем производящую функцию точечного
отображения Т в окрестности неподвижной точки гг = г2 = . . . = гп = 0.
§ 4. Нормализация точечного отображения в окрестности неподвижной точки
После получения точечного отображения встает более сложная и самая важная
задача об исследовании свойств точечного отображения в окрестности
неподвижной точки. Свойства точечного отображения удобнее всего
исследовать, если выбрать такую систему координат, в которой это
отображение имело бы наиболее простой вид. Эту простейшую форму точечного
отображения будем называть его нормальной формой. Нормальная форма для
случая отображения Т плоскости в себя подробно изучена Дж. Д. Биркгофом
[28, 105]. Общие результаты о нормальной форме дифференциальных уравнений
и точечных отображений, задаваемых периодическими по t системами,
изложены в работе А. Д. Брюно [11, 12].
Здесь получим нормальную форму точечного отображения, задаваемого
канонической системой дифференциальных уравнений. Будем считать, что
нормализация линейной части отображения не требуется. Это возможно, когда
квадратичная часть функции
§ 4J НОРМАЛИЗАЦИЯ ТОЧЕЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 113
Гамильтона, соответствующей системе дифференциальных уравнений, имеет
нормальную форму.
Итак, пусть г. помощью процедуры, описанной в предыдущем
гараграфе, мы уже получили производящую функцию S (фг, г?) тображения Т:
S - Гх (<Pi - гп (фп - 2п%п) -}- S3 (Фi,r'i) -j- . . .
(4.1)
Явный вид отображения Т получается после разрешения относительно rt, фг
уравнений
dS о 9S П - Эфг ' " дг\ • (4,2)
Проведя несложные выкладки, получим отсюда
о , ds^ dS_*_ _ V4 d*S3 dS3 1 atf Ь аф?аФ" drl
(4.3)
где Sm = Sm (фг +2лKt, г(r)).
Введем теперь новые переменные рг, 04 так, чтобы максимально упростить
отображение (4.3). Новые переменные введем при помощи производящей
функции
W = Р1Ф1 + . • • -Ьрпфп + W3 (рг, фг).
Эта производящая функция задает преобразование rit фг -*¦ рг, 0;. Переход
от переменных г(r), ф(r) к переменным р(r), 0(r) производится при помощи той же
производящей функции W, в которой надо
о о
только рг, Фг заменить на рг, фг.
Из формул замены переменных
dW . dW
Гi л_ • Ui
Зф{ ' г dPi получаем
п
Гг = Рг
ЮМРг.Вг) аиГз(Рг.0г)
dQi Z_| dQ{ aefc d9li
JC-1
" "'К',(f.-,О-) Э*И',(?"",) ЭИ',(?1,1|,|
<Pt = 0' + LT"-35Г- +
К=1
(4.4)
Связь между г(r), ф(r) и р(r), 0(r) получается по тем же формулам (4.4), в
которых надо всем переменным приписать верхний индекс нуль.
114 ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ [ГЛ. S
Попытаемся теперь так подобрать функцию W3, чтобы в производящей функции
F (р(r), 0i) отображения р", 0; -"-р(r), 0(r) отсутствовали члены третьей
степени относительно Подставим
выражения старых переменных п, и г(r), ф(r) через новые р 0i и р(r), 0(r)
соответственно в формулы (4.2). Тогда
в аж3(р?,е?) э^а(р4,04) ass (е{, р")
Pi = р" + ¦
50? ^0i 1 aoi '' ''
0? = в, _ + М,(8''Р;> + ¦ ¦ ¦ <4'5'
d?i ^ аР" ^ аР" ^
Здесь в явном виде выписаны только первые нелинейности по У~р1 ж Vр(r). Из
формул (4.5) получим
Pi == Pi 1-[W3 (р(r), 0| - 2яХ4) - W3 (р(r), 0j) -f- Sa (0{, p(r))] -f- .. .r
(4.6)
0? = 0{ - 2nK + -V [W3(p?, 0i - 2nXi) - W3 (pi 0i) + S9 (0i, P?)] + ...
apV
Таким образом, члены третьей степени в новой производящей функции
F (р4" (r)i) - pi (01 - 2rik\) + . . . +pn (0n - 2jxX") -f-
+ Л (p?, 0i)+^ (p?, в,) + • • • (4-7)
имеют вид
Fэ = W3 (p(r), 0i - 2riki) - Wa (P?, 0{) + (0i, P?). (4.8)
Покажем, как надо выбрать W3, чтобы функция F3 обратилась в нуль. Возьмем
в S3 два таких одночлена:
р(r)" [a sin (к, 0) + Р cos (к, 0)]. (4.9)
Здесь р°" =p(r)aip(r)at. • .рпЧ 2а, - целое неотрицательное число, 2 (а* + "а
