Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
возможен, так как область F^> 0 примыкает к точке М*. Покажем, что при
выполнении условий теоремы при некотором т точка jT'Mo лежит вне е0-
окрестности точки М*.
Предположим противное, т. е. пусть точки ТтМ0 при всех т лежат в е0-
окрестности. Тогда последовательность {Т*М0} будет ограниченной. Кроме
того, ни одна точка этой последовательности
РАЗЛОЖЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В РЯД
109
ре может выйти из области V '^> 0, так как по третьему условию теоремы V
(ТМ) V (М).
Рассмотрим теперь числовую последовательность (F (ТкМ0)}. Эта
последовательность будет ограниченной в силу непрерывности функции V.
Кроме того, она будет монотонно возрастающей, так как, согласно третьему
условию теоремы,
V (М0) < V (ТМ0) < V (Т*М) < . . . < V (ТкМ0) <... Следовательно,
существует предел этой последовательности lim V (ТкМ0) = а (а > V (М0)).
К-*оо
Из ограниченной последоватеьности {ТкМ0} выделим сходящуюся
подпоследовательность
ГЧМо, Т'гМ0,. . ,
Пусть точка Р будет пределом этой последовательности lim Г%0 = Р (Ре
Ре.)-
К->оо
Рассмотрим выражение
V (Г**+1АГ0) - V (Т{*М0) и перейдем в нем к пределу при к -*¦ оо. Получим
lim (V (Ti]c+1M0) - V (?кМй)] = V (TP) -V(P)= 0,
7i-"oo
что противоречит третьему условию теоремы.
§ 3. Разложение отображения в ряд
Обратимся снова к системе дифференциальных уравнений (1.1). Предположим,
что правые части Xi аналитичны по пространственным переменным в
окрестности периодического решения х* (г) системы (1.1). Тогда решения
систему (1.1) тоже будут аналитическими относительно начальных данных,
достаточно близких к х*т (0) = (х* (0), х* (0),. . х* (0)). Из
непрерывной зависимости решений от начальных данных следует, что решения
системы (1.1) с начальными условиями, близкими к х* (0), определены при 0
<. t <Г 2п. Поэтому оператор Т точечного отображения определен при
начальных условиях, достаточно близких к х* (0). Будем считать для
простоты, что неподвижная точка М* = х* (0) оператора Т совпадает с
началом координат, и найдем разложение оператора Т в ряд по степеням
начальных данных.
Разложение оператора Т в ряд можно получать разными способами: можно
искать общее решение в виде ряда по начальным
110
ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ
[ГЛ. 6
данным, можно применять численное дифференцирование по на-f чальным
данным. Как правило, эти способы весьма сложны. Но часто можно
использовать те или иные специфические свойства системы (1.1), вытекающие
из характера изучаемой динамической системы.
Мы интересуемся точечными отображениями, задаваемыми гамильтоновой
системой дифференциальных уравнений. Пусть эта система имеет
периодическое решение, совпадающее с началом координат, а функция
Гамильтона аналитична по координатам и импульсам и 2л-периодична по t.
Использование гамильтонова характера системы (1.1) существенно упрощает
нахождение разложения оператора Т в ряд.
Обратим внимание на то, что преобразование фазового пространства при
помощи движения гамильтоновой системы является каноническим [16].
Переменные qt (t), рг (t) получаются из qt (0), Pi (0) при помощи формул
где W - W (qi (t), qt (0), t) - главная функция Гамильтона, т. е.
действие W = \ L (qh qu t) dt, (L - функция Лагранжа), вы-
раженное через начальные координаты, конечные координаты и конечный
момент времени t.
Мы, однако, будем искать преобразование qt (0), pt (0) -> -*¦ Qi (t)> Pi
(t) иначе. Будем находить не прямое преобразование, а обратное, т. е.
будем считать, что движение гамильтоновой системы переводит систему с
функцией Гамильтона Н {qt, pt, t) в систему с функцией Гамильтона,
тождественно равной нулю. Тогда новые координаты и импульсы будут qt (0),
pt (0). Далее, будем искать не само преобразование Т, а производящую
функцию этого преобразования.
Обозначим через S (qt (t), р\, t) производящую функцию преобразования qi
(t), pt (t) ->- q°u pt (Здесь и в дальнейшем qt ~ - qt (0), pt = Pt (0)).
Формулы преобразования имеют вид
Производящая функция удовлетворяет уравнению Гамильтона - Якоби
Полагая в (3.1) t = 0, найдем начальные условия S (qt (0),
VVV /Av UVV f. , п ,
Pi-dq7' Pi (0) - - gq. (0) (г - 1. 3, . . ., га),
О
(3.2)
§ 31 РАЗЛОЖЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В РЯД 111
Pi (0). 0)" а положив t = 2я и разрешив (3.1) относительно q pi, получим
разложение оператора Т в ряд по ql, р{.
Пусть функция Гамильтона изучаемой системы записана в полярных
координатах и имеет вид
И (<pt,/и t) = Я2 +H3 + Я4+ . . ., (3.3)
где Hm при тп 3 - однородные формы степени m относительно
1/Уг, содержащие угловые аргументы синусов и косинусов как комбинации
вида А^фх + /с2ф2 + . . . + п (*г - целые числа), Н3 предполагается
заданной в нормальной форме
^2^2 И- • • - -f* ^пГп¦ (3.4)
Будем искать производящую функцию отображения Г|ф? -> -> г\ф? в виде ряда
^ = iSe -J- iS1 з -J- iS14 -J- . . ., (3.5
в котором Sm имеет структуру, аналогичную структуре Нт. Подставив (3.3) и
(3.5) в уравнение (3.2) и приравняв формы одинаковых степеней в обеих его
