Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беляшкин А.Г. -> "Методика решения задач механики" -> 39

Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.

Беляшкин А.Г., Матвеев А.Н., Сараева И.М. Методика решения задач механики — МГУ, 1980. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikaresheniyazadachmehaniki1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 203 >> Следующая

не выше четвертого поряд ка, то можно воспользоваться расчетными
формулами, приведенными в предыдущих главах. Трудности нормализации
неизмеримо возрастают при увеличении числа степеней свободы изучаемой
динамической системы, а также когда функция Гамильтона явно содержит
время. В последнем случае без расчетов на ЭВМ уже нельзя обойтись, так
как при нахождении производящей функции нормализующего преобразования
неизбежно приходится решать задачу нахождения периодического решения
некоторой системы дифференциальных уравнений.
В настоящей главе описан разработанный в [61] алгоритм нормализации 2п-
периодических по t гамильтоновых систем, основанный на применении метода
точечных отображений [75]. Кроме того, здесь же рассмотрена задача об
устойчивости неподвижных точек отображений в случае резонанса.
Приведем кратко необходимые понятия и определения метода точечных
отображений. Пусть движение динамической системы описывается системой
дифференциальных уравнений вида
= X, (хх, ..., хп, f) (г = 1,2,. .., п), (1-1)
где правые части X, либо 2п-периодичны по t, либо от t не зависят совсем.
Будем изображать движение в (п -f. 1)-мерном пространстве переменных х1,
х2,. . ., хп; t. Обозначим через Р0 (рис. 5) плоскость t = 0, а через Р2П
- плоскость t = 2п. Траектория системы (1.1), начинающаяся в произвольной
точке М плоскости
НЕОБХОДИМЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
107
Р0, через время t = 2л пересечет плоскость Р2П в некоторой точке Мт- Если
теперь отождествить плоскости f = 0 и 1 = 2я (т. е. спроектировать
плоскость Р2я на плоскость Р0), то получим точечное отображение Т
плоскости Р0 в себя. Это отображение будем записывать в виде равенства
И = ТМ или при помощи формул
%i = fi (хг, Х2,. . ., хп) (i = 1, 2,. . .,п).
(1.2).
К точке М в свою очередь может быть применено отображение Т, которое
переведет ее в точку М. Таким образом,
М = Т (М) = Т (ТМ) = 'РМ.
Преобразование, состоящее в тге-крат-ном последовательном применении
преобразования Т, обозначают 7(tm).
Точка М* называется неподвижной точкой преобразования Т, если
преобразование Т переводит ее в себя, т. е.
М* = ТМ*.
Уравнение для определения неподвижных точек преобразования в координатной
форме получается из (1.2):
X* = fi (xf, xi, . . ., xt) (i = 1, 2, . . ., re). (1.3)
Назовем 8-окрестностью точки М* совокупность точек М, для которых р (М,
М*) < в. Здесь через р (М, М*) обозначено расстояние между точками М и
М*:
р (М, М*) = У (Xl - xif + . . . +(хп- х*)\
Введем, согласно [76, 77], понятие устойчивой и неустойчивой неподвижных
точек. Неподвижная точка М* называется устойчивой в малом, если для любой
точки М, принадлежащей достаточно малой е-окрестности М*, имеет место
неравенство
р (ТтМ, М*) < гт,
где max ет -> 0 при в -> 0. Неподвижная точка М* называется неустойчивой,
если для некоторого в)>0 в любой сколь угодно малой окрестности точки М*
есть точки М, которые при последовательном применении к ним
преобразования Т выходят за пределы е-окрестности неподвижной точки М*.
Рис. 5. К понятию точечного отображения.
108
ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ
[ГЛ. 6
Между точечными отображениями Т и движениями системы существует очень
тесная связь. Например, справедлив следующий общий принцип: для тпого
чтобы решение хт (t) = (хх (t),. . ,,хп (?)) неавтономной системы было
2п-периодическим, необходимо и достаточно, чтобы точка х (0) была
неподвижной точкой отображения Т:
Тк (0) = х (0).
Имеет место соответствие не только между периодическими движениями и
неподвижными точками преобразования Т, но и соответствие между их
устойчивостями. Именно, чтобы периодическое движение было устойчивым по
Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы была устойчивой соответствующая
неподвижная точка преобразования Т.
§ 2. Перенесение теоремы Четаева
на точечные отображения
' В работе [76] Неймарком доказана теорема, представляющая собой
перенесение теорем Ляпунова об устойчивости и неустойчивости на точечные
отображения. Нам в дальнейшем, однако, потребуется теорема о
неустойчивости неподвижных точек точечного отображения, аналогичная
теорема Четаева о неустойчивости движения. Докажем следующую теорему,
представляющую собой перенесение теоремы Четаева на точечные отображения.
Теорема. Пусть М* = (х*, х$,. . ., ж*) - неподвижная точка отображения Т,
и пусть возможно найти такую непрерывную функцию V (х*, х*,. . ., х*),
что
1) V (ж?, ж?,. . ., xt) = 0;
2) в сколь угодно малой окрестности точки М* существует область V 0, на
границе которой V = 0;
3) во всех точках М области V 0 разность V (ТАГ) - V (М) положительна.
Тогда неподвижная точка М* неустойчива.
Доказательство теоремы аналогично соответствующим доказательствам Четаева
и Неймарка. Зафиксируем некоторое достаточно малое число е0 (0 < е0 1).
Через Уе, обозначим пересечение области 7>0 и замкнутой е0-окрестности
точки М*. Возьмем точку М0, сколь угодно близкую к неподвижной точке М* и
принадлежащую F8o. По условиям теоремы такой выбор точки М0 всегда
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed