Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
150
5. Задачи для самостоятельного решения
5.1. Однородная пластинка, имеющая форму равностороннего треугольника,
подвешена за вершины тремя нитями, имеющими одинаковую длину 383 мм. В
состоянии равновесия пластинка горизонтальна, а нити вертикальны.
Найти период крутильных колебаний пластинки вокруг вертикальной оси,
проходящей через центр симметрии пластинки. Считать, что каждая нить
отклоняется на малый угол от вертикали.
Ответ: 0,62 с.
5.2. Определить период крутильных колебаний тонкого диска, подвешенного
горизонтально на трех параллельных нитях длиной 120 см.
Ответ: 1,55 с.
5.3. Диск состоит из двух половин одинаковой толщины: одна половина
алюминиевая, вторая - свинцовая.
Каково отношение периодов колебаний этого диска относительно осей,
перпендикулярных к плоско- В
сти диска? В первом случае ось рнс. 67
проходит через точку А, а в другом - через точку В (рис. 67).
Ответ: 0,9.
5.4. Шар радиусом 5 см подвешен на нити длиной 10 см. Определить
погрешность, которую мы делаем, приняв его за математический маятник
длиной 15 см.
Ответ: 2,2%.
5.5. Математический маятник длиной 0,5 м отклонился при первом колебании
на 5 см, а при втором (в ту же сторону) - на 4 см.
Найти время релаксации математического маятника.
Ответ: 6,4 с.
РАЗДЕЛ XV Гидростатика
1. Теоретический материал
Жидкости и газы. Различие между ними. Поведение их в условиях
невесомости.
Давление. Единицы давления: Паскаль, бар, физическая и техническая
атмосфера, тор. Сжимаемость жидкостей и газов. Коэффициент сжимаемости.
Массовые силы: сила тяжести, силы инерции. Равновесие жидкостей и газов
при отсутствии массовых сил. Закон Паскаля. Равновесие несжимаемой
жидкости при наличии массовых сил (силы тяжести, сил инерции, в частности
центробежной силы). Равновесие сжимаемой жидкости (газа) при наличии
массовых сил: газ в однородном поле тяжести, газ при наличии сил инерции,
гидростатический парадокс. Условия плавания- в несжимаемой жидкости, при
наличии массовых сил. Закон Архимеда. Выталкивающая сила. Условия
плавания в сжимаемых жидкостях. Подъемная сила аэростата. Потолок
аэростата.
Давление жидкости нли газа на стейку при наличии массовых сил.
2. Вопросы по теоретическому материалу
2.1. В чем основное различие между поведением жидкости или газа в
условиях невесомости?
2.2. Какой опыт свидетельствует в пользу справедливости закона Паскаля?
2.3. В чем состоит основное различие в распределении давлений внутри
несжимаемой и сжимаемой жидкостей?
2.4. Как зависит распределение давлений внутри несжимаемой жидкости от
вертикального ускорения сосуда с жидкостью?
2.5. Как будет зависеть давление в вертикальном столбе сжимаемой жидкости
(газа) от высоты?
2.6. Что такое "барометрическая формула"?
2.7. В чем отличие условий плавания в несжимаемой жидкости и в сжимаемой
жидкости?
152
3. Основные типы задач и методы их решения
а) Типы и методы решения
3.1. Задачи на использование данных о физических свойствах жидкостей и
газов (плотности, сжимаемости).
Решение. Использование табличных данных, перевод величин из различных
систем в СИ и использование определений и зависимостей, связывающих эти
величины.
3.2. Задачи на поведение несжимаемых жидкостей при наличии массовых сил
(силы тяжести, силы инерции).
Решение. Использование принципа совпадения поверхностей равного давления
и потенциальных поверхностей несжимаемой жидкости. Вычисление по
давлению, зависящему от координаты, полной силы действия на поверхность.
Использование экспоненциальной зависимости давления от высоты для
сжимаемого газа, находящегося в однородном поле сил.
3.3. Задачи на плавание тел в жидкостях и газах.
Решение. Использование значения архимедовой силы и
ее вычисление в конкретных ситуациях для несжимаемых и сжимаемых
жидкостей.
б) Примеры 1 тип задач (3.1)
3.1.1. В массивном куске металла высверлено отверстие диаметром 4 см. В
цилиндрическую полость налита вода. С какой силой нужно действовать на
поршень для того, чтобы сжать объем воды на 1 % ?
Решение. Сжимаемость воды, которая, вообще говоря, является функцией
давления, в интервале до ЮООатм в среднем равна 4-10-10 Па-1. Давление,
при котором объем воды уменьшится на 1%, можно найти из условия 10_:>=4-
10-10/7. Отсюда /7=250-105 Па или 250 атм. Искомую силу цайдем, умножая
давление на площадь поперечного сечения поршня: F=4- 10-4я250-105 Н =
31,4 кН = 3,14 т.
3.1.2. Если осушить Марианскую впадину, какое атмосферное давление будет
нормальным на ее дне?
Решение. Зависимость плотности и давления сжимаемой жидкости в однородном
поле тяжести является экспоненциальной и для давления имеет вид
- pg k
Р = Р0е р° .
где ро - давление на уровне моря, р0 - плотность жидкости на уровне моря.
Для Марианской впадины высота ее над уровнем моря равна 10 542 м.
Давление в Марианской впадине превысило бы атмосферное давление в
153
exp
1,293-9,8 • 10542
'j раз, т. e. в eI>32 = 3,74 раза.
10330 - 9,8
Нормальное давление на дне осушенной Марианской впадины составило бы 2842
