Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
(r)рез = /(<•>!+(r)2)/2,
или
Va = У(v? -t- VI)/2-
Подставляя числовые данные, получим искомое значение резонансной частоты:
Vpe3 = 100 1/бЗ~= 255 Гц.
141
2-й тип задач (3.2)
3.2.1. Амплитуда смещения точечного тела при вынужденных колебаниях
под действием гармонической вынуждающей силы частотой 0,1 Гц равна
амплитуде смещения при действии вынуждающей силы с той же амплитудой, но
с частотой 0,2 Гц.
Найти постоянную времени, если масса колеблющегося тела равна 1 г, а
коэффициент упругости равен 0,5 Н/м.
Решение. Равенство амплитуд смещения при различных частотах гармоничебкой
возбуждающей силы (см. 3.1.2) означает, что
(Oj У г2 f (mfflj - k/щ)2 = <о2 У г2 ; (mo)2 - k/<o2)2.
После алгебраических преобразований получаем
г = УЩ | со| 1- 2k/т ,
а постоянная времени (время релаксации) равна т = 2/п/г.
Подставляя численные данные, получим, что постоянная времени равна
/4-3,142-0,05 + 2-0,5 '
3.2.2. Тело массой 100 г может совершать свободные незатухающие
колебания с периодом 0,628 с. Для него снята резонансная кривая амплитуды
скорости при некоторой ква-знстоксовой силе трения. Если на ее графике
провести прямую, параллельную оси круговой частоты при значениях
амплитуды, равной половине резонансной, то расстояние между точками ее
пересечения с кривой составило (на оси частот) 10,1.
Найти коэффициент затухания при этой квазистоксовой силе.
Решение. Из выражения для частотной зависимости амплитуды скорости (см.
3.1.1) следует, что резонансное значение амплитуды скорости равно А0рез
=F0/r.
Из условия задачи
F" F0
2г г2 -f (та - &/<в)2
Отсюда получим
/пш - k/<o = Зг2.
Это можно рассматривать как соотношение, определяющее частоты,
соответствующие пересечению прямой с резонансной
142
кривой: oil и иг- Решая это квадратное уравнение, получим, что расстояние
по оси частот равно
Дш = - ^Эг4 Ь km.
т
Это соотношение можно разрешить относительно г и соответственно найти
коэффициент затухания:
i V" т2 (Лев2 - 4шд)
]/ 36
Если т=0,1 кг, Дш=2я-10,1 = 63,2, а собственная круговая частота
ш0=6,28/0,628= 10, то коэффициент треиия г=1, а коэффициент затухания 8=
1/0,2=5 с-1.
4. Контрольные вопросы
4.1. Какой вид имеет график зависимости амплитуды ускорения от частоты?
4.2. Как зависит от коэффициента трения опасность разрушения какого-либо
сооружения от резонанса?
4.3. Как можно приближенно решить задачу о вынужденных колебаниях, если
вынуждающая сила периодична, но не гармонична?
4.4. Какой вид имеют векторные диаграммы движения тела прн вынужденных
колебаниях при гармонической вынуждающей силе?
5. Задачи для самостоятельного решения
5.1. Тело массы 10 г совершает затухающие колебания с амплитудой в начале
колебаний 7 см. Коэффициент затухания 1,6 с-1. Под действием вынуждающей
периодической силы частотой 5 Гц установились вынужденные колебания с
амплитудой 5 см. Сдвиг фазы смещения относительно фазы вынуждающей силы -
0,75.
Найти частоту собственных колебаний груза.
Ответ: 5,25 Гц.
5.2. Гирька весом 0,2 кг, висящая на вертикальной пружине, совершает
затухающие колебания с коэффициентом затухания 0,75 с-1. Коэффициент
упругости пружины равен 0,5 кг/см.
Начертить зависимость амплитуды смещения от частоты вынуждающей
периодической силы, если известно, что амплитуда силы равна 0,98 Н.
5.3. По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде ряда
углублений, находящихся на расстоянии 30 см друг от друга. По этой дороге
покатили детскую коляску,
143
имеющую две одинаковые рессоры, каждая из которых прогибается на 2 см под
действием груза в 1 кг.
С какой скоростью катили коляску, если от толчков на углублениях она,
попав в резонанс, начала сильно раскачиваться? Вес коляски 10 кг.
Ответ: 1,7 км/ч.
5.4. Амплитуда смещения вынужденных колебаний при очень малой частоте
равна 2 мм, а при резонансе равна 16 мм. Предполагая, что декремент
колебаний меньше единицы, определить его.
Ответ: 0,4.
5.5. Тело массы 1 г, подвешенное на пружине, колеблется с частотой 2 см.
На тело начала действовать направленная вертикально гармоническая сила с
амплитудой 10-3Н и некоторая сила вязкого трения.
•Определить амплитуду силы вязкого трения и коэффициент трения, если
амплитуда смещения тела при резонансе равна 5 см.
Ответ: коэффициент трения равен 9,83-10-3 кг/с - или 7,82-10-3 кг/с;
амплитуда силы вязкого трения равна соответственно 4,70-10-5 Н или 3,47-
10-5 Н.
РАЗДЕЛ XIV Крутильные колебания
1. Теоретический материал
Крутильные колебания как периодические вращательные движения твердого
тела. Угол поворота как аналог смещения точечного тела. Гармоническое
крутильное колебание. Кинематические параметры крутильных колебаний:
круговая частота, угловая амплитуда и начальная фаза.
Сложение и разложение крутильных колебаний. Сложение и разложение
крутильных колебаний с одинаковой частотой. Сложение и разложение
гармонических1 крутильных колебаний с различными частотами. Крутильные
биения. Гармонический анализ крутильных колебаний.'
