Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
параметрами (коэффициент затухания, время релаксации и логарифмический
коэффициент затухания).
б) Примеры
1-й тип задач (3.1)
3.1.1. Амплитуда затухающих колебаний в начальный момент времени
равна 18 см. Через 15 с после начала движения она равна 6 см. В какой
момент времени амплитуда будет равна 1,8 см?
Решение. При свободных затухающих колебаниях амплитуда уменьшается со
временем экспоненциально по закону
at = а0е~ы.
Отсюда 6/2 = In , или t,, = -j- 1п-^-.
"а о as
Коэффициент затухания б можно найти из условия аг - аае~6*к
Следовательно, б = 1п-^~ /
/
Отсюда
Подставляя данные задачи, получим
In ¦ 1,8
In 18,0
<. = '5,0 = 15,0-Ш" = -Jfc - 31.4 с
6,0 '
3.1.2. Каков логарифмический коэффициент затухания груза,
подвешенного на упругом шнуре, если его начальная амплитуда 6 см, а через
5 мин оиа равна 3 мм? Масса груза 500 г, а коэффициент упругости 50 Н/м.
Решение. Логарифмический коэффициент затухания связан с коэффициентом
затухания и условным периодом затухающих колебаний соотношением 0 = 6Т'.
Поскольку условный период сам зависит от коэффициента затухания, то
логарифмический коэффициент затухания будет выражаться через данные
задачи следующим образом:
0 = ^?Lin -2г_ / \± L in* (-^Л]1/2.
t Oi / m fl \ <Ji / J
Подставляя числовые данные, получим 0 = 6,27-10~3.
2-й тип задач (3.2)
3.2.1. Шарик, радиус которого равен 1 см, а масса 90 г, подвешен на
двух последовательно соединенных пружинах с коэффициентами упругости 25
Н/м и 75 Н/м. Шарик опущен в касторовое масло, имеющее температуру 20°С.
Определить частоту колебаний шарика и декремент колебаний шарика. Массой
пружин и их трением о жидкость пренебречь.
Решение., Коэффициент упругости двух последовательно соединенных пружин с
различными коэффициентами упругости будет равен обратной величине суммы
обратных значений соответствующих коэффициентов упругости. Тогда второй
закон Ньютона для движения шарика в вязкой жидкости будет иметь вид
пи -1----х f 6ахгцх = 0, (1)
fti + ks
где т-масса шарика, г - его радиус, х - смещение, k\ и кг - коэффициенты
упругости пружины, т]- коэффициент внутреннего трения жидкости. Из (1)
следует, что частота колебаний шарика будет равна
2я \ m(ki-\-kа) а коэффициент затухания 6=3лгц/т.
136
Подставляя численные значения, получим v=0,93Tu, сг=0,186 с-1.
3.2.2. Груз массы 2 кг растягивает пружину на 2 см. После начала
свободных колебаний включается демпфер, и колебания становятся
затухающими с логарифмическим коэффициентом колебаний, равным 1,57.
Какая сила действует на груз со стороны демпфера при движении груза со
скоростью 5 см/с?
Решение. Соотношение, связывающее логарифмический коэффициент затухания с
коэффициентом затухания (см. задачу 3.1.2), можно решить относительно
коэффициента трения (активного сопротивления) h. Сделав это, получим
V яа + 0а
Коэффициент упругости по условию задачи равен mg/Ax. Искомая сила
F = rv = v% \/------------ = vm a/~ ---------
V Д*(я* + 03) V (я/0)г+1
Подставляя численные значения, получим
F = 5-10-а-2 лГ1 Н.
V 2-10-а-5
4. Контрольные вопросы
4.1. Как найти время релаксации тела, если заданы логарифмический
коэффициент затухания, собственная частота колебаний и активное
сопротивление?
4.2. В чем проявляется влияние сухого трения при затухающих колебаниях
точечного тела по прямой?
4.3. Что нужно знать кроме коэффициента упругости и коэффициента трения
тела для того, чтобы определить амплитуду и начальную фазу колебаний?
4.4. В чем кинематический смысл сложения двух затухающих колебаний?
5. Задачи для самостоятельного решения
5.1. К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина
удлиняется на 98 мм. Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют
груз совершать колебания.
Чему должен быть равен коэффициент затухания, чтобы:
а) через 10 с их амплитуда составила 1% от начальной величины; б) груз
возвращался в положение равновесия апе-
137
риодически; в) логарифмический коэффициент затухания был равен 6?
Ответ: а) 0,46с-1; б) более 10 с-1; в) 0,89 с-1.
5.2. Амплитуда колебаний груза, находящегося в жидкости и подвешенного иа
пружинке, за 1 мин уменьшилась вдвое.
Во сколько раз оиа уменьшится еще за 20 с?
Ответ: в 1,25 раза.
5.3. Через какое время энергия колебаний камертона, совершающего
затухающие колебания частотой 600 Гц, уменьшится в миллион раз, если
логарифмический коэффициент затуханий равен 8,10-4?
Ответ: через 13,8с.
5.4. Груз, подвешенный на пружине и находящийся в жидкости, совершает
крлебания вдоль линейки с делениями. Три последив* крайних положения
груза пришлись против делений: 20,0, 5,6; 12,8.
Считая коэффициент затухания постоянным, определить деление,
соответствующее положению равновесия груза.
Ответ: 10,4.
5.5. Какова общая сумма путей, пройденных взад и вперед точечным телом по
прямой до полного затухания его свободных колебаний, если его начальное
отклонение равно 1 мм, а логарифмический коэффициент затухания равен
2,10-3?
Ответ: 499,5 мм.
