Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Т= 2я-¦ = 0,347 с.
VW?
3.1.2. Считая, что поршень двигателя внутреннего сгорания колеблется
гармонически, определить силу, действующую на коленчатый вал со стороны
поршня, когда он находится в мертвой точке. Масса поршня 1,2 кг, частота
оборотов коленчатого вала 20 мин-1, ход поршня 12 см. Изменением давления
газов в цилиндре пренебречь.
Решение. Когда поршень находится в мертвой точке, он наиболее удален от
оси коленчатого вала-и смещен от нейтрального положения на половину
величины хода. Если считать, что на него действует квазигукова сила
F=^kAxj2, а коэффициент упругости k = гшо\, окончательно получаем
F = т<о^ Дх/2 = 2л\%т Дх = 31,58 Н = 3,22 кг.
2-й тип задач (3.2)
3.2.1. Груз массой 2 кг подвешен к пружине с коэффициентом упругости
5 Н/м. Какова будет амплитуда и начальная фаза колебаний, если в
начальный момент времени
5 Зак 252
129
отклонение груза составляло 0,3 м, а начальная скорость 1 м/с? Начало
отсчета совмещено с положением неподвижного груза на растянутой пружине.
Решение. Если закон движения гармонических колебаний записать в форме
х=Аозт(<йо/+фо), то начальное смещение и скорость будут выражаться через
амплитуду и начальную фазу следующим образом:
х0 = А0 sin <р0, v0 = о)0Л0 cos q>0.
Решай эту систему тригонометрических уравнений относительно А0 и фо,
получим:
А = (*о f ^Ю'/2' Фо = arctg •
Подставляя заданные значения, пдлучим:
Л0 = 0,7 м; ф0 = arctg 0,4743 = 25°22,5'.
3.2.2. Коэффициент упругости пружины равен 100 г/см.
К ней подвешен груз массой 200 г. Каковы должны быть на-
чальные отклонения и скорость груза для того, чтобы амплитуда колебаний
груза была равна 0,1 м, а начальная фаза 45°? Начало отсчета совмещено с
положением груза, покоящегося на пружине.
Решение. Используем непосредственно выражения х0 = А0 sin ф0, v0 = ю0Л0
cos ф0.
Подставляя данные задачи, имеем х0=0,1 -0,51^2 =0,07 м,
v0 = l/ ¦¦¦Р0-- -0,1-0,5 У2 = 5.05 м/с.
0 У 9,82-0,2 г
3-й тип задач (3.3)
3.3.1. Ареометр, цилиндрическая часть которого имеет диаметр 5 мм,
плавает в керосине. Ареометру сообщают толчок в вертикальном направлении.
Найти период колебаний ареометра, если его масса 50 г. Керосин можно
считать невязким.
Решение. При небольшом погружении ареометра относительно положения его
равновесия на него будет действовать выталкивающая сила, равная весу
жидкости, вытесненной до&авочной погрузившейся частью ареометра.
Поскольку трубка ареометра цилиндрическая, то добавочно погрузившаяся
часть, а следовательно, и выталкивающая сила
130
пропорциональны глубине дополнительного погружения х. Выталкивающая сила
F будет равна
F=-r-Pgx,
4
где g - ускорение свободного падения, D - диаметр трубки, р - плотность
жидкости.
Следовательно, выталкивающая сила является квазигуковой. Если направить
ось координат вертикально вверх, то второй закон Ньютона для центра масс
ареометра запишется в виде
тх I --- рgx = 0.
Тогда круговая частота колебаний оуо будет равна ш0 = (nD2 pg/Am)0'5 -
0,5D(npg/m)0'5.
Искомый период Т0= 2л/<о0, т. е. Т0 = 4(max/pg)0'5/D. Подставляя числовые
данные, получим
Г0 = 3,58 с.
3.3.2. По диаметру планеты просверлен туннель. Найти период колебаний
тела, упавшего без начальной скорости в этот туннель, и амплитуду его
скорости. Предполагается, что в туннеле атгЛюферы нет.
Решение. Ускорение свободного падения тела по мере приближения к центру
планеты будет уменьшаться пропорционально его расстоянию до центра
планеты. Коэффициентом этой пропорциональной зависимости является
отношение ускорения свободного падения на поверхности планеты к ее
радиусу R0.
Тогда второй закон Ньютона для движения тела по туннелю запишется так:
тх-Що~ =
•М)
где х - расстояние до центра планеты.
Тогда
Т = 2п {R,/g0)^ и закон движения тела в туннеле будет иметь вид х = R0
sin [t (g0/R0)0-5 л/2].
Амплитуда скорости
v0 = *V?0 = (Яо/Go)0'5-
Ниже приводятся данные и ответы для планет Солнечной системы (в единицах
СИ).
5* 131
Меркурий Венера. . Земля . . Марс . . Юпитер . Сатурн . Уран . , Нептун .
Плутон .
1<Гв Ro 1<Г3 Р то vo
2,42 5,62 lh23'37" ЗГ031
6,06 5,23 lh26'4l" 7(321
6,37 5,52 lh24'22" 7 908
3,38 3,95 lh39'44" 3549
71,8 1,30 2h53'50" 43 253
60,3 0,68 4h00'21" 26 272
23,5 1,58 2h37'42" 15 605
24,6 1,65 2h34'19" 16 693
2,5 3,0 11*54'27" 2287
Данные о планетах взяты из книги: Weigert A., Zimmerman Н. ABC
Astronomie, 3 Aufl., VEB F. A. Brockhaus Verlag, Leipzig, 1971.
4. Контрольные вопросы
4.1. Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух
одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти
к параллельному их соединению?
4.2. Как будет зависеть период колебаний груза на пружине от
географической широты места? Каким он будет в условиях невесомости?
4.3. Чему равен период колебаний потенциальной энергии груза,
подвешенного на пружине, если известна частота колебаний груза?
4.4. Фазовая траектория - это график зависимости скорости точечного тела
(или его количества движения) от положения тела.
