Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
3.2. Определение деформаций по известным внешним силам.
Решение. Используется закон Гука.
3.3. Определение коэффициентов упругости при заданном законе движения под
действием упругих сил.
Решение Используется уравнение движения и закон Гука.
118
3.4. Определение модулей упругости и коэффициентов упругости по известным
силам и деформациям.
Решение. Используется закон Гука.
3.5. Определение энергии упругой деформации.
Решение. I способ: используется выражение для энергии
упругой деформации. II способ: используется закон сохранения энергии.
б) Примеры
1-й тип задач (3.1)
3.1.1. Однородный брусок, масса которого М, движется ускоренно под
действием силы F, равномерно распределенной по всему сечению бруска.
Найти напряжение, возникающее в результате движения, в произвольном
сечении бруска. Длина бруска /, площадь его поперечного сечения S.
Решение. Уравнения второго закона Ньютона для всего бруска и для его
части длиной х имеют вид
| F = Ма, \ Т = xMafi,
где Т - сила упругой деформации растяжения в сечении с координатой х:
Т - -F.
I
Напряжение а в сечении с координатой х равно
и направлено перпендикулярно сечению S.
3.1.2. Однородный диск массы М и радиуса R вращается вокруг своей оси
с угловым ускорением р. Силы, ускоряющие диск, равномерно распределены по
ободу диска.
Найти силу F, действующую на единицу длины окружности, ограничивающей
мысленно выделенную часть диска радиуса г.
Решение. Запишем уравнение вращательного движения части диска радиуса г:
- mr2 6 = F2nr2,
2 м
где m - масса мысленно выделенной части; поскольку диск однородный, то
М
Итак,
р= _1_ Mr* р 4 л/?а
и направлена по касательной к окружности радиуса г.
2-й тип задач (3.2)
3.2.1. Однородный упругий стержень, длина которого равна Z,=20 см,
масса М=300г, площадь поперечного сечения S=50mm2 и модуль Юнга Е-7,2-104
Н/мм2, равномерно вращается с угловой скоростью <о= 100 1/с вокруг оси,
пер--пендикулярной стержню и проходящей через один из его концов.
Найти распределение натяжений Т в стержне и полное его удлинение AL. При
подсчете натяжений пренебречь деформациями. При подсчете линейной
деформации считать поперечное сечение неизменным и удлинение малым.
Решение. Запишем уравнение второго закона Ньютона для элемента стержня
длиной йх, находящегося на расстоянии х от оси вращения:
dx со2 х = - dT.
L
Натяжение в сечении с координатой х найдем в результате интегрирования
этого уравнения:
J <л2х dx - -
X
Окончательно получаем
Т = Мк>2 (La - л2)-2L '
Обозначим удлинение элемента стержня dx через d\. Используем известную
связь между напряжением и относительным удлинением:
JL = ?_ii_
S dx
где S - сечение стержня.
В результате интегрирования по всей длине стержня получим полное его
удлинение:
AL = \-^-dx= ~1,Ы(Г3см.
J SE 3SE '
0
120
3-й тип задач (3.3)
3.3.1. На нижнем конце кварцевой нити, закрепленной в верхней точке,
подвешен шарик массы т=Зг и радиуса # = 0,25 см. Продолжение нити
проходит через центр шарика. Шарик под действием момента упругих сил
кручения нити совершает гармонические колебания с периодом Т=4 с вокруг
вертикальной оси.
Определить коэффициент упругости D нити при кручении. Решение. Уравнение
вращательного движения шарика вокруг вертикальной оси можно записать в
виде:
/ф = - D ф,
где I=2UmR2 - момент инерции шарика относительно оси, проходящей через
центр, ф - угол закручивания иити. Поскольку шарик совершает
гармоническое колебание, то
Ф = Ф0 cos (otf 6),
где со=2я/7' - частота и, следовательно,
Ф = - ф0С02 cos (со/ [- 6).
Подставив выражения для ф и ф в уравнение движения, получим
/со2 = D.
Окончательно имеем
D = - /л#2 со2 = -f-mR2 ¦ = 3-10-3 эрг/град.
5 5 • Г2
4-й тип задач (3.4)
3.4.1. Стержень длины 1=2 м и поперечного сечения S = 50mm2 подвешен за
один конец к потолку. Под влиянием собственного веса Р стержень
растянулся на &1= 0,0007 мм.
Определить модуль Юнга Е материала стержня, если плотность материала р =
2,7 г/см3.
Решение. Натяжение в сечении, расположенном на расстоянии х от свободного
конца стержня, равно
На основании закона Гука
где dg - удлинение элемента стержня длины dx, расположенного на
расстоянии х от свободного конца стержня.
121
В результате интегрирования по всей длине стержня получаем
;
j -xgdx = E М,
О
отсюда
? =_2^Г ==7,6'1°* Н/ММ2-
3.4.2. На двух призмах (рис. 62) лежит брусок, имеющий прямоугольное
поперечное сечение с высотой /1=4мм и шириной с=12мм. На расстоянии а-15
см от призм брусок нагружен двумя одинаковыми гирями весом Р=20 Н каждая.
Брусок изогнулся так, что радиус его кривизны стал равен R=2,28 м.
Определить модуль Юнга Е материала бруска.
Решение. Продольное сечение бруска имеет вил, изображенный на рис. 63,
где NN - нейтральный слой, стрелки направлены к центру кривизны. Из
простых геометрических соображений имеем
R ~г У 1 у Г - 1
- = -, или 9 - -
R I R
На основании закона Гука
a = El'~l
(1)
I '
где о - нормальное напряжение. Следовательно,
У __ a R Е '
