Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беляшкин А.Г. -> "Методика решения задач механики" -> 181

Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.

Беляшкин А.Г., Матвеев А.Н., Сараева И.М. Методика решения задач механики — МГУ, 1980. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikaresheniyazadachmehaniki1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 175 176 177 178 179 180 < 181 > 182 183 184 185 186 187 .. 203 >> Следующая

цилиндра. При 1= = \j2mR2 эти уравнения дают
а = 2/3g.
В инерциальной системе координат решение этой задачи дано в разделе IX
(3.1.5.).
3.1.2. Однородный стержень подвешен на нити и опирается концом на
абсолютно гладкую плоскость. Точка подвеса начинает двигаться
горизонтально с ускорением а, при котором ось стержня и нить (рис. 26)
образуют прямую линию с углом а к горизонту.
Определить это ускорение и величину реакции плоскости N при движении.
Решение. 1. В неинерциальной системе координат х'О'у' к обычным силам
взаимодействия (а именно натяжению
83
нити Т, силе тяжести mg и N) необходимо добавить силу инерции - та.
Сумма моментов сил относительно точки 0' дает
mgl cos а = mal sin а,
где I - половина длины стержня.
Для величины искомого ускорения получим
а = g ctg а.
Уравнение моментов огноси-
/____________? тельно центра масс стержня
дает
Ja = N1 cos ct,
где J - момент инерции стержня относительно точки центра масс, а -
угловое ускорение вращения стержня.
Так как .а=0, то при / cosa=? =?0, получим, что N= 0.
2. В инерциальной системе координат хОу останется без изменения
уравнение моментов, так как оно применимо и
для движущейся точки центра масс, что опять дает N-Q.
Для определения ускорения а можем воспользоваться
уравнениями
Т cos a, mg - Tsln ct,
Г ' У'
лг та /
' X

0
O'
Рис. 26
ma =
где m - масса стержня, g уравнения дают
a = g ctg ct.
3.1.3. Математический маятник с длиной нити I и массой шарика m
подвешен на свободно падающей (с ускорением g), доске (рис. 27).
Как будет двигаться маятник (шарик) относительно доски, если она начинает
свое движение в момент, когда скорость шарика не равна нулю?
Решение 1. В неинерциаль-ной системе координат х'О'у' кроме силы тяжести
mg и натяжения нити Т необходимо учесть силу инерции - mg. Сумма моментов
ускорение силы тяжести. Эти
Рис. 27
54
всех трех сил относительно точки О' равна нулю. Для уравнения
вращательного движения маятника это дает
ml2a = О,
где тР - момент инерции маятника, а - угол отклонения маятника, а - его
угловое ускорение.
Из этого уравнения следует, что а=0. Маятник будет вращаться с постоянной
угловой скоростью
0) = а = const.
2. В инерциальной системе хОу для координат маятника x = /staa, у = у' +
/cos a.
Для уравнений движения
тх = Т sin a, my = mg - Т cos a.
Для компонентов ускорения получим
х = - /a2 sin a J la cos a, у - -/cosa-a2 - /sin a-a J- y'.
Считая, что y'=g, a=co, a=p, из уравнений движения я<}лучим
m/p cos a = (m/m2 - T) sin a,
- (m/o)2 - T) cos a = mlP sin a.
Эти два уравнения совместны, если
m/ce2 = Т и m/р = 0.
Первое уравнение дает величину силы Г, приложенной к шарику. Второе
приводит к постоянной угловой скорости вращения маятника
ш = a = const.
2-й тип задач (3.2)
3.2.1. Изогнутый стержень ОА может вращаться вокруг вертикальной оси
OY (рис. 28). На стержне имеется колечко С, которое может свободно, без
трения перемещаться по стержню.
Определить уравнение (форму) y=f(x) стержня, при котором колечко при
любой угловой скорости со вращения стержня не будет по нему перемещаться.
Рис. 28
85
Решение. 1. В неинерциальной системе координат х'О'у', вращающейся с
постоянной угловой скоростью со, к силе тяжести mg (рис. 28) и реакции
опоры N следует добавить центробежную силу инерции F=mu)2x' (пунктир на
рис. 28), где т - масса колечка, х' - расстояние колечка от оси вращения
(ось у).
Чтобы колечко покоилось при любой угловой скорости вращения стержня,
необходимо, чтобы сумма всех сил на направление возможного перемещения
была равна пулю, т. е.
mg sin а - mwV cos а = О,
где g - ускорение силы тяжести, а - угол между касательной к линии
стержня в точке, где находится колечко, и осью О'х'. Из этого уравнения
получаем
dy'
tg а :
¦= X'
dx' g
Интегрирование дает уравнение параболы
У'
"/2
g
2. В инерциальной системе координат хОу центростремительной силой будет
векторная сумма сил тяжести и реакции опоры колечка. Имеем
maFx-mgtga - mg--.
Интегрирование дает, как и прежде, уравнение параболы
1 еог о
у х2.
2 g
3.2.2. Тонкий однородный стержень длины L с массой т вращается по
инерции с постоянной угловой скоростью о>
вокруг вертикальной оси, проходящей через его верхний конец О.
Определить (рис. 29) угол а устойчивого вращения стержня.
Решение. В неинерциаль-иой системе координат, вращающейся вместе со
стержнем, к .каждому элементу длины стержня dl будет приложена
элементарная цетробежиая сила инерции (рис. 29). dF =Spdl О)2 г,
Рис. 29
где S - сечение стержня, р - ние элемента от оси вращения.
его плотность, г
расстоя-
86
Момент этой силы относительно точки О будет dM = S р dl a11 sin а / cos
а,
где I - расстояние элемента массы от оси вращения. Сумма моментов этих
сил будет
В рассматриваемой системе координат стержень покоится - момент силы
инерции должен быть равен моменту силы тяжести (l/2Lmg sin а). Равенство
моментов сил дает
Это уравнение для искомой величины угла дает два ре-
Предыдущая << 1 .. 175 176 177 178 179 180 < 181 > 182 183 184 185 186 187 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed