Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ф=я- апогей (с апогеем в месте остановки спутника).
Определить v0 и viy если известны радиус Земли и параметры орбиты р и е.
Сопротивление воздуха не учитывать, Землю считать сферой.
Решение. Так как диссипативной силой пренебрегают, то вся кинетическая
энергия, полученная спутником в начальный момент, пойдет на работу по
преодолению силы притяжения:
= (|)
Л.
56
yMm/Rl = mg0. (2)
Таким образом,
vo = \/2g0R0 (l , где rA = (апогей),
или
V0 = |/ 2goR0 (l 7*-) , где гя = --^е- (перигей).
Фокальный параметр эллипса p=b2ja, где а - большая полуось эллипса, b
- малая; а зависит от полной энергии
точки w, от массы ее т и интенсивности источника поля -
уМ:
а = у тМ/21 w |, (3)
Ь зависит от момента импульса N=m[rv], полной энергии точки w и массы ее
т:
Ь = ">7г=к^- W
у/ 2т |
Таким образом,
va Л
goRl
Момент импульса сохраняется:
ОД г Л = о л гл. (6)
Тогда из (5) и (6) получаем
Vi = VA = VEp -уЧ ' А
ИЛИ
Ro
vl = va = V g0P -
'я
3.1.2. Приземление спутника. Спутник Земли двигается по эллиптической
орбите с параметрами р и е. На какую величину Ао следует изменить
(уменьшить) скорость спутника в апогее, чтобы он перешел на новую орбиту
с перигеем, равным радиусу Земли R0, т. е. мог приземлиться?
Решение. Скорость спутника до изменения орбиты в точке гА (см. 3.1.1)
va = Vg0P -7J
Ra_
57
Скорость после изменения орбиты в той же точке г а via = VgoPi < vA.
Найдем pi. Старая орбита:
гл = -г1-. (1)
Новая орбита:
^ = -г2*-. (2)
1 - Ei
гь, = -г^-= /?". (3)
1 +%
Из (2) н (3):
Г А - R" 2гл R(I
(r)i-----------------------; р\
та + Ro г а "Ь R"
Av = va-Via- После подстановки pi н тА получим
Av = R"(\ - г)]/fl- л[ 25*-----------------)¦
0 V Р \ V р + 1?о(1-в) /
3.1.3. Изменение орбиты спутника на круговую. Спутник Земли имеет
эллиптическую орбиту с параметрами р и е. Насколько нужно изменить
скорость спутника в апогее (перигее), чтобы он перешел на круговую орбиту
того же радиуса? Радиус Земли R<>.
Решение. При движении по окружности радиуса г центростремительной силой
является сила тяготения
утМ _ то2 ^
гг г
Так как уМ = g0R20, то
v = RoY~T- (2)
Для апогея
г = гя=-2- (3)
1 - Б
а скорость (см. 3.1.1)
Скорость на круговой орбите радиуса гА из (2) и (3)
. = ".(1-.)/ (5)
Разность (4) и (5) покажет, насколько нужно изменить uA для перевода
спутника на круговую орбиту:
1
Vi
Av = va - v = R0(l Для перигея:
До = 1*-О = #0(1 + е)У'-й-
3.1.4. Рассеяние легкой частицы на тяжелой. Метеор массы т<М0 Солнца
летит из бесконечности, имеет вдали от Солнца скорость v0 и расстояние k
(рис. 14), такое, что траектория его изменяется и он, огибая Солнце,
уходит в бесконечность.
Найти наименьшее расстояние г, на которое метеор приблизится к Солнцу.
Влиянием других тел на метеор пренебрегаем.
Решение. Момент импульса т относительно М0 сохраняется, так как сила их
взаимодействия центральная:
т
Рис. 14
mv0l0 - mvr,
(1)
где v - скорость метеора на расстоянии г от Солнца. Механическая энергия
сохраняется (система консервативна), а потенциальная энергия в
бесконечности равна нулю:
у тМо
(2)
Из (1) и (2) найдем г:
/ш
Ь/о
У Мр
3.1.5. В безвоздушном пространстве по одному направ-
10
г,
лению двигались два шарика. Масса одного т= 1,10-заряд q=-2,4-10~6 CQSE,
масса второго - М=1,10-5 г, заряд <7=2,4-10~6 CQSE.
Найти скорость v малого шарика относительно большого, если он притянулся
и стал вращаться вокруг большого по
59
круговой орбите радиуса л=0,1 см. Найти период обращения Т.
Решение. Сила гравитационного притяжения р = _ 6,7-10-8.lQ-^-lQ-s
* /¦* _ 10-*
:6,7-ю-21 ДИН
Сила взаимодействия Кулона
г Qg 2,4-10-6-2.4-10-"
Р _---------_------------------
т. е. FK"Fg силой:
г* Ю-*
сила Кулона является
= 5,8 -10 дин,
центростремительной
mv*
г
=FK
IQ"1" -0,1
V = ¦
Т =
Ю-i" 2я г _ и
0,76 см/с,
2-й тип
_ _ 2-3,14-0,1 0,76
задач (3.2)
= 0,83 с.
to
m
3.2.1. Шарик (материальная точка) массы пг вращается вместе с невесомой
горизонтальной трубкой по инерции относительно вертикальной оси с
постоянной угловой ско-I СО о ростью ш0. Невесомая нить
03 удерживает шарик на рассто-
янии 10 от оси и пропущена (рис. 15) вдоль оси. Очень медленно
подтягивают шарик к оси до расстояния х от нее.
Найти: 1) угловую скорость шарика а>х как функцию х; 2) силу натяжения
нити Fx\ 3) показать, что изменение кинетической энергии ДЕ шарика равно
работе А силы Fx.
Решение 1) Момент импульса сохраняется, так как Рас. 15 момент [10Р] =0,
А
К
mil (од - mx2a>x, (ох
"с/о
>">0-
2) Fx ~ m ю2 х =
ml* <ng
равновесная для каждого х.
60
3) А Е =
J 0<а0
J.w
'I . " ( ) 0
2 \ *s /
Ео ^ ЕX*
Если при постоянном моменте импульса /со уменьшается момент инерции тела
/, то увеличивается кинетическая энергия ?"ин системы:
_,2 ,,2 ml0 ш0
Л = ^Fxdx =
lo
Энергия шарика увеличилась за счет работы силы Fx.
3.2.2. На невесомый горизонтальный стержень насажена муфта массы т
(материальная точка), прикрепленная нитью длины а к оси 00, относительно
