Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
угол и отпустить, он будет совершать крутильные колебания.
Чему равен их период?
Решение. Уравнение движения для свободных незатухающих крутильных
колебаний будет
/ф + ?>ф = 0.
В данном случае упругий момент будет создаваться деформацией кручения
стальной проволоки, следовательно,
D = nr4G/2/,
где г - радиус проволоки, G - модуль сдвига материала,
I - длина проволоки.
Момент инерции шара относительно оси, совпадающей с его диаметром, равен
0,4т/?2, где т - масса шара, a R - радиус шара. Тогда период колебаний
будет равен.
Т0 = 2я {J/Df'5 = 2л ( °'iI8^g3/ )°'5 = ~ ( -¦'8g/l1 )°'5-
147
По условию задачи т=2кг, /?=5-10_2м, /=0,8м, л= = 2,5-10-4 м, G = 7,8-
1010 (в единицах СИ).
Подставляя численные значения, получим 7'0= 11,2 с.
3.1.2. Однородная палочка
уууууууу/ууууууу/////////////////^ подвешена за концы на двух
У" одинаковых НИТЯХ длины 785 мм. В состоянии равновесия обе нити
параллельны. Найти период малых колебаний, возникающих после некоторого
поворота палочки вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр.
Решение Пусть палочка имеет длину I (рис. 66). Обозначим угол отклонения
нитей ф, а угол поворота палочки а. Уравнение движения будет для палочки
иметь внд
Ja f М = 0,
где J-ml2/12. Момент сил равен сумме моментов сил, действующих на полочку
со стороны нитей, т. е. М=2 Ми
м = "e:?_L= "S2L; М =
1 2 т 2 4 2
Рис. 66
При малых колебаниях al/2 - <fL, т. е. ф = а//2?. Тогда уравнение
движения будет иметь вид
тР , mgP
¦ a i = 0.
12
4L
Круговая частота со= У 3g/L, а период колебаний
Г0 = 2я Подставляя числовое значение длины и уско-
рения свободного падения, получим
То =1,026 с.
2-й тип задач (3.2)
3.2.1. Цилиндр массы 2 кг и радиуса 10 см может совершать свободные
незатухающие крутильные колебания относительно вертикальной оси. После
погружения его в жидкость амплитуда его колебаний за 1 мин уменьшается с
10° до 3°.
Считая, что коэффициент затухания его колебаний остается постоянным,
найти ньютойов (тормозящий) момент, действующий на цилиндр со стороны
жидкости, при угловой скорости цилиндра 10 рад/с.
148
Решение. Коэффициент затухания будет равен 8 =-Lin*-,
t ах
а поскольку коэффициент ньютоновского момента равен //=26/, тормозящий
момент при угловой- скорости оц будет равен М/=26/ш1.
Для данных задачи в системе СИ коэффициент затухания равен 4,75-10-3, а
искомый тормозящий момент равен 4,7- 1(Н.
3-й тип задач (3.3)
3.3.1. Найти амплитуду поворота цилиндра, погруженного в жидкость (см.
условия 3.2.1), если на него действует гармонический вынуждающий момент
сил амплитудой 1(Н Нм для резонансной частоты вынуждающего момента.
Решение. Амплитуда углового смещения зависит от частоты вынуждающего
гармонического момента следующим образом:
Ар =М0 |<о [я f (/<о ^Т")1]05}-1'
где М0 - амплитуда вынуждающего момента, Н - постоянная тормозящего
момента (активное сопротивление), I - момент инерции и D - постоянная
упругого момента. В случае резонанса она равна:
Аф = М0 (48аш3 f 4б4)-о-5 ^ _Л±_ (б " 1)
2оо>
Подставляя числовые данные, получаем
Аф = 10-2/2-2-10-М = 0,25 = 14° 19' 26',2.
4-й тип задач (3.4)
3.4.1. Тонкая пластинка нз однородного материала имеет форму
равностороннего треугольника со стороной 175 мм. Она может вращаться
вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из сторон пластинки.
Найти период малых колебаний этой пластинки. Решение. Период малых
колебаний физического маятника составляет
Т0 = 2
где 1\ - приведенная длина физического маятника, равная Jjmd, а / -
момент инерции физического маятника относительно оси колебаний, m - его
масса, d - расстояние от оси до центра масс. Момент инерции относительно
стороны
149
треугольника' равен та2/8. Центр масс находится на расстоянии а/2 КЗ от
оси. Следовательно,
Т0 = я уЗ Vlfg = 4,13 Vaig = 1.32 Va = 0,552с.
3.4.2. Физический маятник устанавливается так, что его центр масс
располагается вертикально над точкой подвеса. Затем маятник начинает
двигаться без трения из этого положения с нулевой начальной скоростью. В
момент прохождения через нижнее положение угловая скорость маятника
достигает значения 420 об/мин.
Найти собственную частоту vo малых колебаний этого маятника (в СИ).
Решение. Пусть расстояние от точки подвеса О до центра масс М равно а.
Согласно теореме о сохранении полной механической энергии вращающегося
твердого тела
J<J2 = 2 mS-
Отсюда приведенная длина физического маятника равна
J 4g
Поскольку ш0 = Уmag/J, то
1 "1 / ?Фтах фтах 22 , -я
• = "2зГ V -^ = Jk- = 4jr=1>75r"-
4. Контрольные вопросы
4.1. Чему равен период колебаний кинетической энергии тела, совершающего
крутильные гармонические колебания с известной частотой?
4.2. Начертить фазовую траекторию свободных незатухающих крутильных
колебаний. Рассмотреть два случая: круговая частота больше и меньше
единицы.
4.3. В чем состоит кинематический смысл разложения произвольного
крутильного колебания в ряд Фурье?
4.4. В чем проявляется влияние сухого трения при затухающих крутильных
