Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
груза пришлись против делений: 20,0, 5,6; 12,8.
Считая коэффициент затухания постоянным, определить деление,
соответствующее положению равновесия груза.
Ответ: 10,4.
5.5. Какова общая сумма путей, пройденных взад и вперед точечным телом по
прямой до полного затухания его свободных колебаний, если его начальное
отклонение равно 1 мм, а логарифмический коэффициент затухания равен
2,10-3?
Ответ: 499,5 мм.
РАЗДЕЛ XHI
Вынужденные колебания материальной точки
1. Теоретический материал
Вынуждающая сила. Период вынуждающей силы. Гармоническая вынуждающая
сила.
Вынужденное колебание. Вынужденное колебание при действии только одной
гармонической вынуждающей силы. Вынужденное колебание при действии
гармонической вынуждающей силы и квазигуковой силы. Вынужденные колебания
при действии гармонической вынуждающей силы и квазистоксовой силы.
Вынужденное колебание при действии гармонической вынуждающей силы,
квазигуковой силы и квазистоксовой силы. Сдвиг фазы вынужденного
колебания по отношению к фазе гармонического вынужденного колебания и ее
зависимость от гармонических параметров. Полное механическое
сопротивление (механический импеданс). Инерционное сопротивление н
упругое сопротивление как составляющие реактивного сопротивления.
Зависимость амплитуд смещения, скорости и ускорения вынужденного
колебания от динамических параметров. Шесть резонансных кривых
(зависимости амплитуд смещения, скорости, ускорения, сдвига фаз смещения,
скорости и ускорения относительно фазы гармонической вынуждающей силы от
частоты гармонической вынуждающей силы).
Добротность.
2. Вопросы по теоретическому материалу
2.1. Как используется при рассмотрении вынужденных колебаний принцип
суперпозиции движений (независимости движений)?
2.2. По какому переносному колебанию удобно раскладывать движение
точечного тела в случае: а) действия одной гармонической вынуждающей
силы; б) действия гармонической вынуждающей силы и квазигуковой силы?
2.3. С точки зрения какой системы отсчета вынужденное колебание при
наличии гармонической вынуждающей силы, квазигуковой силы и
квазистоксовой силы будет свободным затухающим колебанием?
139
2.4. Почему вынужденное гармоническое колебание имеет предельный
(асимптотический) характер?
2.5. Какая связь между резонансной частотой амплитуды смещения колебаний
и резонансной частотой амплитуды скорости колебаний?
2.6. Будет ли иметь место резонанс смещений колебаний при действии суммы
гармонических вынуждающих сил с различными частотами?
2.7. При какой частоте гармоническая вынуждающая сила будет совершать
максимальную работу?
2.8. Чем отличаются друг от друга фазовые резонансные кривые для амплитуд
смещения, скорости и ускорения?
2.9. Что такое добротность и как она связана с параметрами,
характеризующими свободное затухающее колебание?
3.1. Задачи на вычисление параметров вынужденных колебаний (резонансную
частоту, амплитуду вынужденных колебаний) при различных частотах
вынуждающей силы.
Решение. Использование соотношения между амплитудой смещения, скорости и
ускорения и динамическими параметрами либо непосредственно, либо через
параметры, характеризующие свободные затухающие колебания.
3.2. Задачи на вычисление динамических и кинематических параметров по
заданным параметрам резонанса для амплитуд смещения, скорости и
ускорения.
Решение. Использование тех же соотношений, что и при решении задач типа
3.1, по отношению к которым задачи типа 3.2 представляют как бы обратные
задачи.
3.1.1. Амплитуды скорости вынужденных колебаний 'при частотах
вынуждающей силы, равных 200 Гц и 300 Гц, равны между собой.
Принимая, что амплитуда вынуждающей силы в обоих случаях одна и та же,
найти частоту, соответствующую резонансу скорости.
Решение. Амплитуда скорости точечного тела при установившихся вынужденных
колебаниях зависит от коэффициента трения г, массы т и коэффициента
упругости k следующим образом:
3. Основные типы задач и методы их решения
а) Типы и методы решения
б) Примеры 1-й тип задач (3.1)
ты-----------
I
140
Если ^(vj) =|Д,(у2), то (mffl! - к!щ)2 = (тш2 - /г/(r)2)2. Отсюда следует,
что либо т(r)1 - к/<о1=Ша>2 - k/щ, либо то)1 - - А/(r)! = k/щ - тш2.
Первую возможность нужно исключить, так как она приводит к мнимому
значению собственной частоты. Вторая возможность дает v0=Vrv1v2.
Поскольку резонансная частота для амплитуды скорости совпадает с
собственной частотой колебаний тела, то искомая резонансная частота
vpe3 = 100 ^6 = 245 Гц.
3.1.2. Амплитуды смещений вынужденных колебаний при частотах
вынуждающей силы, равных 200 Гц и 300 Гц, равны между собой.
Найти частоту, соответствующую резонансу смещений. Решение. Амплитуда
смещения точечного тела при установившихся вынужденных колебаниях связана
с амплитудой скорости (см. 3.1.1) следующим образом: Ax=AJix>.
Тогда равенство амплитуд смещения при частотах (r)i и <02 можно записать в
виде
(r)i г2 Ь (mfflj. - fc/fflj)2 = о)2Уг2 -г (mco2 - й/со2)а,
