Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
нахождения координат точек либрации систему двух уравнений
ill 1 , сГ 2(1 + \ = о
\ + L(^ + ri2)s/* "2 + r|2)7/!J ") ' (2.3)
л и 1 | СГ 2Р аУ+Рч"- ¦ 1_ = 0
I (^ + tl2)s/' L (S* -F- n*)v" (S2 + rf),/2J ¦)
которая при малых е имеет четыре решения, определяющих координаты четырех
точек либрации Р;. Имеем
Р1
Рг
Рв
Pt
So - 1 -f- еа -f- ... , Ло - So - 0;
So = ло = 1 + еР + ••• I ?о = 0;
So = - 1 - еа - ... , Цо = 0, So = 0;
So = 0, Ло = - 1 - ер - ... , So = 0.
(2.4)
Точки либрации лежат на продолжениях большой и малой полуосей
экваториального сечения эллипсоида симметрично относительно его центра
масс. Схематически они изображены на рис. 47.
§ 3. Линейный анализ устойчивости точек либрации
Исследуем устойчивость полученных точек либрации. Ввиду симметрии можно
ограничиться рассмотрением одной из точек, например Рг. Рассмотрим
сначала устойчивость в линейном приближении. Положим
S = So + 9и Л = Ло + 9г> ? = ?о + 9з> (3-1)
где So, Л01 So - координаты точки либрации Рг, определяемые формулами
(2.4). Линеаризованные уравнения движения запишутся в виде
^ - 2 - 3 (1 + 2еа + ...) дх = 0, (3.2)
+ 2 -J~- + [2е (а - Р) -f- ...] g2 = 0" (3-3)
?2!.+ [1+2в(а-(г) + ...]?з = 0. (3.4)
Характеристическое уравнение системы (3.2) - (3.4) распадается на два
уравнения: одно четвертого, а другое второго порядков::
Я4 + [1 - 2е (2а + р) + ...] V + 6е (р - а) + ... = 0, (3.5)
+ 1 + 2е (а - а) + ... =0. (3.6)
Из (3.5) и (3.6) получаем, что если а -< Р, то для достаточно малых
302 ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ГРАВИТИРУЮЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА [Д
45 характеристическое уравнение имеет три пары чисто мнимых корней:
^1,2 = zh ^з,4 = it Я5>6 = + ?(c)3, (3.7)
где (c)г -частоты малых колебаний материальной точки вблизи Px:
(c)j = 1 + е (а - 4р) + (c)2 = У 6е (р - а) + ... , (c)3 =
= 1 + е (а - о) + ••• (3.8)
Если же а р, то при достаточно малых е один из корней харак-
теристического уравнения будет вещественным положительным числом X = У6е
(а - р)+---
Таким образом, в случае выполнения неравенства а р
{т. е. точка либрации Рг (а также и точка Р3) расположена на
продолжении малой полуоси экваториального сечения эллипсоида)
линеаризованная система (3.2) -
(3.4) устойчива, а значит, для полной нелинейной системы дифференциальных
уравнений возмущенного движения выполнены необходимые условия
устойчивости. В случае же, когда а р (т. е. точка либрации Рх (а также и
точка Р3) расположена на продолжении большой полуоси экваториального
сечения эллипсоида), линейная система (3.2) - (3.4) неустойчива, а также
неустойчива по Ляпунову и полная нелинейная система уравнений
возмущенного движения.
На рис. 48 в плоскости параметров еа и ер показаны область 7, где
выполнены необходимые условия устойчивости точек либрации, и область II,
в которой точки либрации неустойчивы по Ляпунову (на рис. 48 принято | еа
| <[ 0,1 и | ер | <1 0,1).
§ 4. Результаты нелинейного исследования устойчивости
С. Г. Журавлевым в работах [25, 184, 1851 проведено подробное нелинейное
исследование устойчивости точек либрации Pt для значений параметров еа,
ер, принадлежащих области I рис. 48, где выполняются необходимые условия
устойчивости. Нелинейное исследование представляет значительные
трудности, потому что в области /, как показано в статье [184],
гамильтониан возмущенного движения не будет знакоопределенной функцией.
Здесь ситуация совершенно аналогична той, которая имеет место в задаче об
устойчивости треугольных точек либрации круговой ограниченной
Рис. 48. Области устойчивости и неустойчивости точек либрации трехосного
гравитирующего эллипсоида.
НЕЛИНЕЙНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
303
задачи трех тел (см. главы 7 и 8 книги). Совсем не останавливаясь на
очень громоздких вычислениях, проведенных в работах [25, 184, 185],
приведем только окончательные результаты.
Рассмотрим сначала случай плоской задачи, т. е. случай, когда
материальная точка во все время движения не выходит из плоскости
экваториального сечения эллипсоида. В статье [1841 показано, что в
области I существуют кривые, на которых частоты (r)i> w2 удовлетворяют
резонансным соотношениям третьего и четвертого порядков = 2w2 и % = 3w2.
Эти кривые представлены на рис. 48. Расчеты, проведенные в [184, 185],
показали, что для значений параметров еа, ер, лежащих на кривой а"! =
2ой2 и на части кривой % = 3w2, где выполняется неравенство -0,0634 ер -
0,0629, точки либрации неустойчивы по Ляпунову. В остальной части области
/ точки либрации устойчивы по Ляпунову (кроме, быть может, двух точек
кривой о"! = Зы2, в которых ер = -0,0634 или -0,0629; эти две точки
разделяют на кривой о)х = За"2 интервалы устойчивости и неустойчивости, в
них вопрос об устойчивости остался открытым). Отметим, что для
исследования устойчивости в нерезонансном случае в работах [184, 185],
как и в главе 7 настоящей книги, пришлось учесть " разложении
гамильтониана члены до шестого порядка включительно относительно
координат и импульсов возмущенного движения.
