Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
геоцентрических координат порядка 1000-2000 км.
ДОПОЛНЕНИЕ
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ГРАВИТИРУЮЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА
§ 1. Уравнения движения
Кроме точек либрации задачи трех тел, в небесной механике известны еще
точки либрации в окрестности вращающегося гравитирующего эллипсоида. Их
существование было установлено Ю. В, Батраковым в работе [6]. Эти точки
либрации представляют собой частные решения дифференциальных уравнений
движения материальной точки в окрестности вращающегося с постоянной
угловой скоростью трехосного гравитирующего эллипсоида. Во вращающейся,
связанной с эллипсоидом, системе координат эти частные решения
представляют собой положения равновесия. Таких равновесных положений
материальной точки всего четыре. Они расположены на продолжениях большой
и малой осей экваториального сечения эллипсоида симметрично относительно
его центра масс.
В статье [1] В. К. Абалакин исследовал устойчивость упомянутых точек
либрации в линейном приближении и установил, что две точки либрации,
расположенные на продолжении большой полуоси экваториального сечения
эллипсоида, неустойчивы по Ляпунову (выполнены достаточные условия
неустойчивости), а две другие точки, расположенные на продолжении малой
полуоси, устойчивы в первом приближении (выполнены необходимые условия
устойчивости).
Дальнейшее исследование устойчивости точек либрации, расположенных на
продолжении малой полуоси экваториального сечения эллипсоида, проведено в
работах С. Г. Журавлева [25, 184, 185]. Использовав недавние результаты
теории гамильтоновых систем, изложенные в главах 4 и 5 настоящей книги,
С. Г. Журавлев получил строгие выводы об устойчивости этих точек
либрации.
Ниже кратко излагаются результаты упомянутых работ Ю. В. Батракова, В. К.
Абалакина и С. Г. Журавлева, посвященных точкам либрации в окрестности
вращающегося эллипсоида. Сначала получим уравнения движения. Пусть
материальная точка движется в поле тяготения вращающегося с постоянной
угловой скоростью и трехосного гравитирующего эллипсоида массы М. Выберем
прямоугольную систему координат Oxyz, связанную с эллипсоидом. Начало
этой системы координат поместим в центр
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
299
масс О эллипсоида; оси Ох, Оу и Oz совпадают с главными центральными
осями инерции эллипсоида, и направление угловой скорости вращения
последнего совпадает с направлением оси Oz (рис. 47).
Дифференциальные уравнения движения материальной точки во вращающейся
системе координат Oxyz можно (см. [24]) записать в виде
<Р-х
dt2
2(0
dy
dt
dx
Ы~Х
4? + 2(0 dt
d2z
~dW
dV dx ' a 9V
- IL
dz '
(1.1)
где V - потенциал притяжения эллипсоида.
Пусть эллипсоид представляет собой однородное гравитирующее тело,
поверхность которого можно записать в виде уравнения
*2 | V2 I j
аг -т- b2 -1- С2 -
Потенциал такого эллипсоида на внешнюю точку задается формулой Дирихле
[24]
Рис. 47. Точки либрации в окрестности вращающегося гравитирующего
эллипсоида.
1
b2 + s
ds
где / гравитационная постоянная, а и уравнения
У(а2 -f- s) (63 -j- s) (с2 -f- s)
(1-2)
- положительный корень
+ •
a1 f- и 1 b'+u + c2 + u Пусть эллипсоид мало отличается от однородного
шара радиуса R и имеет объем, равный объему этого шара. Тогда
а2 = R2 + а', Ъ2 = R2 + Р', с2 = R2 + о', (1.4)
где а', Р' и о' - малые по сравнению с R2 величины, которые в силу
равенства объемов эллипсоида и шара удовлетворяют с точностью до малых
более высокого порядка соотношению ос' + Д~ Р' + Y* = 0. Разлагая
потенциал (1.2) в ряд по степеням ос\ Р', у', получаем выражение для
потенциала притяжения эллипсоида в виде.
V -
/.и
-fM
f. у-
10^" ^ с1-5)
Здесь не выписаны члены более высокого порядка относительно
300 ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ГРАВИТИРУЮЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА [Д
а', Р', of', а через р обозначено расстояние от материальной точки до
центра масс эллипсоида.
Для дальнейшего удобнее рассматривать уравнения движения в безразмерных
переменных. Положим
т = о*, | = х-ао1, т] - у-а^1, ? = z-аД
где а^ш2 = fM. Введем еще вместо трех малых величин а', (У,
of' один параметр е (0 <^е 1), связанный с упомянутыми вели-
чинами соотношениями
За' 3 В' 0 3 з' ..
Т0"еа' 10"^-=еР' 10~^==т- d'6)
о о о
В новых переменных уравнения движения (1.1) запишутся в виде
dx? dx ё д\ '
dt# + dx 9г) '
dV
dx*~ ~~ dZ, '
где
+ +..., Г2 = |2+Т,2 + ?2. (1>8)
§ 2. Точки либрации
Найдем положения равновесия системы (1.7), которые определяют координаты
точек либрации Pt (i = 1, 2, 3, 4) в окрестности вращающегося
гравитирующего эллипсоида. Из (1.7) получаем, что положения равновесия
должны удовлетворять такой системе уравнений:
dV . t n dV . n dV n ,0
+ I - 0, 9r) + 11 - - ( )
Используя равенства (1.8), перепишем эту систему в виде
|-4г +1 ["(?¦-5^51±М±?Е.)+...] _ о, Ч-Д-+ч[.(-^-5 + ) + ...] =0.
(2.2)
Из последнего уравнения системы (2.2) видно, что при достаточно малых
значениях е она может иметь только такие решения, для
§ 31 ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ 301
которых S = 0. Положив в (2.2) величину S равной нулю, получим для
