Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
-^-=О^^(к-\+2іф,)ааф-'ох(Х0ф+Хфа)- (10.42)
V at дх2
J?- = y,0f ф-X11\ (10.43)
at
Щ-^иі-’кхХ-іхіХ.ф+Х.ф,). (10.44)
Ol
Разложим функции Ф, / и X в ряд по пространственным гармоникам. Для реактора плоской геометрии такими функциями могут быть простые тригонометрические функции, например, полная система (cos (плх/а)}, где «=0,1, :..,оо. Поскольку Ф0 не зависит от координат, то эти функции не связаны друг с другом, т. е. подстановка разложений искомых функций в уравнения (10.42) —
(10.44), умножение на cos (тях/а) и интегрирование по х (0 < х с а) оставляет коэффициент лишь при cos (тлх/а)*. Применив разложение искомых функций по указанной системе и использовав преобразование Лапласа, с учетом обозначений
плх
Х[ф (х,01 = S ^n(S)COS —;
п=0 о
плх
% 11 (X, 0] = 2 In (S) COS —;
п=0 о
плх
&{X{x,t) ]= IUn(S)COS —
п=0 а
получим из уравнений (10.42) — (10.44) следующие соотношения: s + = -D^y Ап + (к-1+2[ф„)^Дп-
— оX (X0 An+Xn ф0);
SIп = Y/ О*f An Xj Iп,
SXn-Xt In—XxXn — ах (X0 An + Xn ф0).
Эти три уравнения могут быть преобразованы к одному уравнению относительно An. Величины s, являющиеся полюсами функции An (s), обратным периодам п-й гармоники. Они определяют устойчивость этой гармоники. Решая уравнения относительно An (s) и исключая k с помощью уравнения (10.39),
* В голом реакторе ф0 имеет зависимость от пространственных координат и поэтому гармоники взаимосвязаны [34].
439
a X0 с помощью уравнения (10.41), получаем уравнение для полюсов функции An (s):
Т—0IjT-)'
°х V/ ?(
0X у і °f Ф о
(s + Xj) (s + Xx + Ox ф 0) (Xx + ах ф о) (s + Xx + о х Ф0)
Это уравнение третьей степени относительно s, корни которого определяют величины, обратные периодам п-х гармоник.
Рис, 10.8. Расчетная зависимость уровня потока нейтронов от мощностного коэффициента реактивности f при нейтральной устойчивости реактора к ксеноновым колебаниям [35].
Условием нейтральной устойчивости реактора является чистая мнимость корней s = і со. Если у реактора фиксированы D, а и v, а / и Ф0 могут меняться, то в координатах /— Ф0 существует лишь одна кривая для каждой гармоники, на которой система имеет нейтральную устойчивость. На рис. 10.8 представлена такая кривая для основной (п = 0) гармоники плоского реактора [35]. Все точки плоскости /— Ф0, лежащие справа от кривой, соответствуют устойчивому состоянию системы, а слева — неустойчивому состоянию. Таким образом, ордината кривой определяет величину стационарного потока нейтронов, а абсцисса — величину отрицательного мощностного коэффициента реактивности, при которых реактор имеет нейтральную устойчивость по отношению к ксено-
440
новым осцилляциям. В реакторе, / и Ф0 которого принадлежат этой кривой, MOryt происходить незатухающие ксеноновые колебания потока (и тепловыделения) при отсутствии других факторов, например действия регулирующих стержней.
Численные данные рис. 10.8 относятся к конкретному плоскому тепловому реактору, но качественно картина справедлива для любого реактора. Из рисунка видно, что, если тепловой реактор имеет достаточно низкий уровень потока нейтронов [~ IO9 нейтрон/ (см2-сек)], он устойчив к действию ксенона-135 при любых отрицательных значениях мощностного коэффициента реактивности. При таких потоках скорость выгорания ксенона-135 при поглощении им нейтронов относительно мала, и «запаздывающее» образование этого изотопа при распаде иода-135 не оказывает влияния на устойчивость реактора. Зафиксировав отрицательное значение мощностного коэффициента реактивности, рассмотрим зависимость устойчивости реактора от уровня потока в нем.
При потоках, несколько больших IO9 нейтрон/ (см2 • сек), основная гармоника становится неустойчивой, причем критический поток возникновения неустойчивости не зависит от значения / в широком диапазоне изменения /. В этой области потоков механизм неустойчивости реактора связан с накоплением ксенона-135. При более высоких потоках [~ 3 • IO9 нейтрон/ (см2 • сек)] обратная связь по мощности начинает стабилизировать реактор, и в условиях слабого выгорания ксенона-135 реактор устойчив. При потоках больше 2-Ю11 нейтрон!(см2-сек) выгорание ксенона-135 начинает играть дестабилизирующую роль, причем обратная связь по мощности не компенсирует его воздействие до потоков порядка IO13 нейтрон/(см2 • сек). При потоках около IO16 нейтрон/(см2 • сек) система снова устойчива, но такие значения потоков не реализуются в обычных тепловых реакторах.
Кроме того, следует,учитывать возможность возбуждения неустойчивости высших гармоник потока нейтронов, например первой гармоники (п = 1). Эта гармоника легко стабилизируется обратной связью по мощности при достаточно высоких потоках [ ~ IO13 нейтрон/(см2 • сек) для рассматриваемого реактора]. Неустойчивость первой гармоники, так же как неустойчивость нулевой гармоники при низких потоках, может возникнуть вследствие выгорания ксенона-135. Высшие гармоники труднее сделать неустойчивыми, чем основную гармоннку, т. е. при заданном мощностном коэффициенте реактивности для этого нужен больший поток нейтронов. Так, кривая нейтральной устойчивости первой гармоники лежит левее аналогичной кривой для основной гармоники; на рис. 10.8 она нанесена пунктирной линией и соответствует частному случаю, когда (oaa2/D) = 1500. Следует отметить, что, поскольку номер гармоники п входит в виде отношения я п/а в полученные выше уравнения, то пространственные осцилляции п-й гармоники легче получить при большом а, т. е. в больших реакторах. Для рассматриваемого реактора высшие гармоники с п > 2 труднее возбудить, чем первую гармонику.
