Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Фг«Фт;
РФг«_^_РФт. (10.14)
km
* Если в системе имеется несколько делящихся изотопов, расположенных в различных зонах, то ситуация не так проста, потому что величины (3 и X входят и в другие операторы (см. разд. 10.1.2). Однако, по-видимому, это не окажет существенного влияния на характер общих заключений о поведении собственных функций.
428
Последнее уравнение будет точным в том случае, если х/Хр и Р; — постоянные величины, но так как они зависят от координат и энергии, уравнение (10.14)— приблизительное.
Если эти равенства подставить в уравнение (10.13), то получим уравнение на собственные значения периода реактора а (10.11) без члена агФг/у. Из этого следует, что функция Фь являющаяся решением уравнения (10.14), может рассматриваться как приближенная собственная функция периода реактора а. Предположим для простоты, что х/Хр и Pj— константы. Тогда Фг точно равно Фт, и уравнение (10.14) преобразуется к виду
М‘-Р>+S-TTTi = ^- (10.15)
Cti -J- Kj кт
В случае шести групп предшественников запаздывающих нейтронов уравнение {10.15) будет справедливо для шести различных значений а*. Эти шесть значений периода реактора малы по абсолютной величине и имеют одну и ту же собственную функцию Фг, но различные распределения предшественников запаздывающих нейтронов, что видно из уравнения (10.10). Их называют «запаздывающими», чтобы указать на связь с запаздывающими нейтронами.
Из предшествовавших рассуждений может быть сделан следующий вывод: каждой собственной функции коэффициента размножения Фт соответствует шесть «запаздывающих» собственных функций периода Фь таких, что Фг да «г фт. «Запаздывающие» функции Фг различаются по соответствующим им значениям периода реактора и по концентрациям предшественников запаздывающих нейтронов, но для всех них значения а і малы по абсолютной величине.
Осталось рассмотреть быстроспадающие функции. Они аналогичны решениям уравнения (10.12), «мгновенным» собственным функциям периода реактора. Если реактор подкритичен на мгновенных нейтронах, то, как показано в разд. 1.5.1, главное собственное значение будет наименьшим и отрицательным. В зависимости от типа реактора абсолютная величина а|,р) меняется от IO2 -+- IO3 сек -1 для тепловых реакторов до IO6 сек -1 для быстрых реакторов*. «Мгновенные» собственные функции более высокого порядка будут иметь собственные значения а|р), большие по абсолютной величине, чема(0р>, т. е. еще более отрицательные.
Подставим «мгновенную» собственную функцию, соответствующую собственному значению а{*>>, в уравнение (10.11). Эта функция будет удовлетворять уравнению (10.11) при условии малости члена, относящегося к вкладу запаздывающих нейтронов. А этот член действительно мал, так как в знаменателе его стоит относительно большая величина а(0р). Отсюда следует, что «мгновенные» собственные функции являются почти точными собственными функциями периода реактора даже при учете запаздывающих нейтронов. Разумно предположить, что каждая «мгновенная» собственная функция ф|р) будет иметь схожую с ней точную собственную функцию Фь Т. е. ф|р)дафг, и поэтому
-(P)____
Ф/ ОС і.
Итак, из физических соображений предложено разделение собственных функций периода реактора на медленно меняющиеся, «запаздывающие» функции и на быстро спадающие, «мгновенные» функции. Для простейших приближений теории переноса нейтронов эти функции могут быть легко найдены
[16]. В более точных приближениях математический анализ значительно усложняется..
В заключение рассмотрим сопряженную задачу нахождения собственных функций Ф,+ и собственных значений at. Обобщая методику, использованную
* Для реакторов с тяжеловодным или графитовым замедлителем абсолютная величина а(0р* может быть ~10 сек-1 или даже меньше. Различие между «запаздывающими» и «мгновенными» собственными функциями в этом случае не столь заметно. Для таких реакторов нельзя пренебречь членом щ Фi/v при расчете «запаздывающих» функций.
429
в гл. 6, на случай учета запаздывающих нейтронов, можно получить следующие сопряженные уравнения [17]:
— — Й • УФр + оФр =
V
= s+ Ф,+' -f Ixp (I - Р) F] + + 2 h VOf (г, Е) Cti' (г); (10.16)
/
ар Cfr + Xj Cfr = Xj Xi (E) ФP (г, Й, Е) dQ dE, (10.17)
где сопряженные операторы S+ H [%р (I — Р) F]+ определены следующим образом:
S+ Ф+= 2 a, fx (г; Й, ?-> Й', E') Ф+ (г, Й', E11) dfl' dE'-
" Xjbf
К»(I- f>) F]+ Ф+= SSХ„(?') (I -ft) VO, (г, Е)Ф+ (г, Q' E', f) <ffi' dE'.
В уравнениях (10.16) и (10.17) а* удовлетворяют равенству дФр/ді = = — ар Фр с граничными условиями, означающими отсутствие утечки ценности Ф* из реактора.
Соотношение ортогональности между собственными функциями потока и ценности может быть получено после следующих операций с уравнениями (10.9), (10.10), (10.16) и (10. 17):
(Фр, (10.9)) + 2 $ Cfr X (10. i0)dV—(Ф|, (10.16))—2$cjzx(io.i7)dv.
Результатом этих действий будет уравнение
(а, - ар) [( Фр, -L Ф,) + ? $ (СIr, Cjl) dl/J = 0. (10.18)
Если же подставить в уравнение (10.18) Cjh решив уравнение (10.10), и Cprr решив уравнение (10.17), то получим
