Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
10.1.2. СИНТЕЗ ПО ПРОБНЫМ ФУНКЦИЯМ
По указанным выше причинам разложение потока нейтронов по собственным функциям однородной стационарной задачи не является плодотворным методом решения практических пространственно-временных задач. Сами собственные функции тем не менее представляют принципиальный интерес, и в разд. 10.1.4 показано, как их можно обобщить в случае учета запаздывающих нейтронов. В практических целях признано разумным выбирать пробные функции для разложения из физических соображений. Основным требованием остается следующее: действительный поток нейтронов должен хорошо описываться в любой момент времени рядом (10.1), содержащим две или несколько пробных функций. Иногда соображения о симметрии пространственного распределения нейтронов подсказывают простой выбор пробных функций. В дальнейшем выбор пробных функций будет иллюстрирован примерами, а сейчас обсудим один особый случай.
Решение диффузионного уравнения переноса нейтронов в ядерном реакторе простой геометрии может быть найдено разложением в ряд по собственным функциям уравнения Гельмгольца
V2 ф (г)+B2n ф (г) = 0
при условии равенства потока нейтронов нулю на экстраполированной границе реактора [5]. Собственные функции уравнения Гельмгольца образуют полную систему ортогональных функций, пригодную для разложения пространственных функций в ряд [6], но, за исключением простейших случаев, для получения потока нейтронов с достаточной точностью необходимо использовать большое количество этих функций.
421
Однако часто, когда чисто физические соображения подсказывают выбор пробных функций, оказывается, что эти функции не удовлетворяют условиям ортогональности и полноты, выполнение которых обязательно для однозначного определения коэффициентов разложения Ti (I) в уравнении (10.1). Такой подход называют методом синтеза по пробным функциям [7]. Этот термин указывает, что делается попытка аппроксимировать нейтронный поток суммой физически обоснованных функций (синтез), а не математически точным разложением по некоторой полной системе функций.
В методе синтеза существует значительная свобода в определении коэффициентов разложения. Для их нахождения могут быть использованы вариационные методы [8] таким же образом, как описано в разд. 6.4.8, где поток был представлен в многогрупповом Р^приближении, а соответствующие коэффициенты разложения найдены из вариационного принципа.
Более общим методом определения коэффициентов разложения является метод взвешенных остатков [9]. Предположим, что разложение (10.1) подставлено в уравнение переноса нейтронов, например в уравнение (9.1), причем число членов разложения равно I. В результате получим интегро-дифференциальное уравнение, содержащее I неизвестных коэффициентов разложения Ti(I), умноженных на функции от г, й, Е. Если это уравнение умножить на довольно произвольные весовые функции wh (г, й, Е) и проинтегрировать по г , й, Е, то получим уравнение с / неизвестными функциями T-t(t), умноженными на постоянные величины.
Когда эта процедура будет проделана I раз с использованием стольких же независимых весовых функций, сколько и пробных, в результате получим систему I интегро-дифференциальных уравнений с I неизвестными коэффициентами разложения. Эти уравнения могут быть легко решены численными методами. На практике хорошие результаты получены при использовании в качестве весовых функций решений уравнений, сопряженных уравнениям, которым удовлетворяют пробные функции [10]. В некоторых случаях сами пробные функции используются в качестве весовых [11].
Интересно, что уравнения для нахождения коэффициентов разложения Ti (t) подобны уравнениям точечной модели реактора. Запишем уравнения переноса (9.2) и (9.3) в следующем виде:
-L ІІР, (Ц.Р’ E:J) ¦ -f fl. уф + оФ =
V dt
= S<D + Xp(l— Р) FO+S Xy X/Cy (г, 0 + (10-2)
і
^!+X1C1 = V1 FO1 (10.3)
где операторы ShF описывают рассеяние нейтронов и деление в реакторе: SO=W 2 oxfx(r,Q',E'-+Q,E-,t)®(r,Q',E',t)dQ'dE'-
Xp(I-P) F(D = JjjjxpO-P)Va,(г, E',t)0(r,Q',E',t)dQ'dE'-Pi F<J> = I ру VGf (г, E',t)0 (г, Й', E', t)dQ' dE'.
Подставим выражение (10.1) в уравнения (10.2) и (10.3). Затем умножим уравнение (10.2) на wk (г, Q, Е) и проинтегрируем по г, й, Е, а уравнение (10.3) умножим на wk%p (E) и проинтегрируем по тем же переменным. Результаты могут быть записаны в виде
2А„ ЩР- = S [р W-P Wl и T1« + 2 h Cti«+Qh (о- (10.4)
і Ol і /
+ hCu W = S 1? (<)]и T1 it), (10.5)
at і
422
i
Лл,-= («Ъ, — )’
\ v /
[p (t) - p (ОІЛІ = W I-Й • VOi—аФг +S (t) O1-+ Xp (I-P)F (t) Ф.-1);
[Ь(0]*і=(ю*.їрРРФ,);
Cjk (t) ={wh, x; Cj (r, t)); Qk (t) = (wk, Q).
В этих выражениях круглые скобки означают интегрирование произведения стоящих в скобках функций по г, й, Е, как и в разд. 6.1.1.
В случае единственной пробной функции (/ = 1), если T1 (t) = P (t) и если Wk выбраны в виде Ф+/F в обозначениях разд. 9.2.2, то уравнения (10.4) и (10.5) сводятся к уравнениям кинетики в точечной модели реактора (9.8) и (9.9), правда, с другими нормировками величин Cj и Q. В случае I пробных функций систему полученных уравнений можно записать, введя векторы Ї, Q и Cj порядка /:
