Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Эта ситуация описывается математически, если разложить P (t) в виде P (0 = Pо (0 jT A P1 (t) + ..., подставить это разложение в уравнение (9.29) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях A нулю. Из рассмотрения коэффициента при A0 следует, что
t
[р (t) - F (01 Л> U) + 2 h Jj h (О Po (О ехр [-XjU- Ol dt'= о,
і о
и решение этого уравнения есть P0 (t) = 0. Полагая коэффициент при A равным нулю, получаем, что функция P1 (t) удовлетворяет уравнению
Ip (0—F (01 Pi (0 + S h {суо ехр (—V) +
+ S h (П P1 (О ехр [-Xj (t-t')} dt] + Q(t) = 0. (9.30)
о >
Приближение нулевого времени жизни мгновенных нейтронов эквивалентно ограничению ряда членами до P1, и так как P0(t) = 0, то P(t) = AP1^). Другими словами, в этом приближении функция AP1 (t) удовлетворяет уравнению (9.26) при dP(t)/dt= 0. Используя теорию возмущений [24], удается улучшить приближение нулевого времени жизни мгновенных нейтронов.
Уравнение (9.30) можно решить численно, применяя для интегрирования не зависящие от A временные интервалы. Однако, если р — |3> 0, т. е. для надкритических на мгновенных нейтронах систем, этот метод не подходит. Все члены в лезой части уравнения (9.30) тогда положительны н их сумма не может, очевидно, быть равной нулю.
Для анализа удобно использовать дальнейшее упрощение приближения нулевого времени жизни мгновенных нейтронов. Во-первых, допускается, что существует только одна усредненная группа предшественников запаздывающих нейтронов, характеризуемая параметрами (3 и X. Кроме того, |э считается постоянным, не зависящим от времени, и значение Q приравнивается нулю. За-
382
тем после дифференцирования уравнения (9.30) и использования самого урав-
нения (9.30) получаем
[р (0 - Pl +?^рЧ- xP W1 р W = °- <9-31)
Это — простая форма приближения нулевого времени жизни мгновенных нейтронов, которая иногда используется в расчетных исследованиях физики реакторов.
Так как в рассматриваемом приближении уравнение кинетики (9.29) решается с равной нулю производной по времени, то мощность P (t) должна мгновенно следовать за любым изменением реактивности. Таким образом, если dPldt =Ob уравнении (9.29), то результат можно представить в виде
[PM- Pft)] PW = AKi1WH-QWl, (9.32)
где Qd (0 — скорость распада предшественников запаздывающих нейтронов, т. е.
Л Qd W = 2 h |лсй ехр (¦- K11) + I р, W) P (П ехр [-I1U- Ol *j.
Если бы р (0 претерпела внезапный скачок, то правая часть уравнения (9.32) не изменилась бы, но тогда должна скачкообразно измениться мощность P (t), чтобы удовлетворить этому уравнению. Следовательно, приближение нулевого времени жизни мгновенных нейтронов можно рассматривать как приближение мгновенного скачка мощности. В этой книге предпочтение отдается первому названию, так как оно более ясно отражает физическую сущность приближения.
9.2.7. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ КИНЕТИКИ
Как было сказано выше, в реакторе, работающем на мощности, реактивность является функцией мощности. Следовательно, уравнение кинетики (9.8) представляет собой нелинейное по мощности реактора уравнение. Тем не менее если реактивность реактора, работающего на мощности, подвергается небольшим возмущениям, то можно линеаризовать уравнения точечного реактора. Простые уравнения, которые здесь выводятся, найдут применение в последующих разделах.
Рассмотрим систему, работающую в стационарном состоянии на мощности
P0 в отсутствие какого-либо источника. Такая система является критической
и, следовательно, р = 0. Уравнения кинетики (9.8) и (9.9) для точечной модели реактора будут иметь не зависящие от времени решения P0 и Cj0, которые можно получить, полагая производную dcj/dt в уравнении (9.9) равной нулю, т. е.
v,0=-b-p0. (9.33)
Этот результат удовлетворяет также уравнению (9.8) с условиями dP/dt = 0, P = OhQ = O, в чем нетрудно убедиться, суммируя уравнение (9.33) по /
и обозначая 2(3; = р.
Предположим, реактивность меняется с нулевого значения на небольшую величину 6р(0, что вызывает небольшое изменение мощности и концент-
рации предшественников запаздывающих нейтронов, т. е.
P (t) = P0 + bP(ty, (9.34)
cj(t)=cj0 + 8cj(t). (9.35)
383
Подставляя эти выражения в уравнения (9.8) и (9.9) и используя условия стационарности (9.33), находим:
ШШ = ІРІ0 [P0 + бP (,)]_ JL бP (t) + У Xj бCj (0; (9.36)
at А А
= _Ё2_бР(0 — Xjbcj(t). (9.37)
dt А
Член бр (/) бP (t)/A в уравнении (9.36) имеет второй порядок малости и, следовательно, может быть отброшен, если возмущение реактивности мало, как было
постулировано выше. В этом случае уравнения (9.36) и (9.37) можно записать в виде
1®. = - А- бр------L. 6Р + 2 Xj 6с J- (9.38)
dt А А
I
Jlsp-I4Sci. (э.зэ)
Последние два уравнения и есть линеаризованные уравнения кинетики точеч-
ного реактора.
Важно помнить, что уравнение (9.38) можно использовать, только когда величина брбР/А мала. Если необходимо предсказывать большие возмущения мощности, то нужно рассматривать нелинейное уравнение (9.36), так как отброшенный член может сильно изменить характер решения. Тем не менее, когда величины бр и бP достаточно малы, как в некоторых случаях, рассмотренных ниже, допустимо использовать линеаризованное уравнение.
