Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Следует отметить, что рассматриваемые собственные функции не представляют полную систему функций для разложения решения уравнения переноса 131]. В некоторых односкоростных задачах оказалось, однако [32], что когда собственные функции проинтегрированы по й, они образуют полную систему функций для разложения решений, зависящих только от г.
В элементарной теории реакторов k определяется как отношение числа нейтронов в двух последовательных поколениях, причем процесс деления рассматривается как событие, отделяющее одно поколение нейтронов от другого. Чтобы выяснить, что можно получить в рамках теории переноса, предположим, что в момент времени / = 0в систему вводится импульсный источник нейтронов Q (г, Й, Е, t), который считается источником первого поколения нейтронов. Эти нейтроны покидают систему при их поглощении, включая деление, и за счет утечки. Te нейтроны, которые рождаются в процессе деления, вызванного нейтронами первого поколения, образуют источник нейтронов второго поколения и так далее. Поэтому плотность нейтронов первого поколения N1 должна быть вычислена путем решения уравнения переноса с источником Q1 (причем деление нужно рассматривать как поглощение), т. е.
ЁЬ. +UQ-VN1 + GvN1 = dt
¦= S S Да' fv' N \ dQ' dE' + Q1 (г, Й, Е, t), (1.50)
где индекс X предполагается стоящим у о7 и А При интегрировании по времени (0 ^ t оо) первого слагаемого в левой части уравнения (1.50) получаем
OO
J flMr.Q.E. о dt = (Гі Q Е' оо)_^1 (Гі Et 0) = 0
о
Первое слагаемое в этом выражении равно нулю, потому что система, в которой деление рассматривается как поглощение, должна быть подкритической, а так как импульсный источник нейтронов имеет конечную продолжительность во времени, плотность нейтронов должна спадать к нулю. Второе слагаемое также равно нулю в силу предположения, что источник поставляет нейтроны первого поколения. Если обозначить
OO
J N1 (г, Й, Е, t) dt = N1 (г, Й, ?);
О
CO
J Q1 (г, Й, Е, t) dt =rQ1 (г, Й, Е),
о
'38
то при интегрировании уравнения (1.50) получаем
VQ-VN1 +ovNj = [[ E a' fv' N\dQ' dE' +Q1 (г, й, Е) . (1.51)
j J*# f
Таким образом, Q1 служит источником для N1, и так как выражение (1.51) записано для подкритической системы, т. е. в системе нет нейтронов, образующихся при делении, то из результатов предыдущего раздела следует, что-решение N1 существует и единственно [33].
По плотности нейтронов первого поколения N1 можно найти источник нейтронов второго поколения, т. е. нейтроны деления, полученныеза счет N1:
Q2(r,Q,E) = JJ^- v(r; E' -+ Е) Oj (г, E') v' N\dQ' dE'. (1.52)
Этот источник может быть использован для нахождения плотности нейтронов второго поколения N2 и источника нейтронов третьего поколения.
Так может быть определена итерационная процедура для нахождения плотности одного поколения за другим с помощью рекуррентного соотношения
vQ • VNi + OVNi = S a' fv' N'i dQ' dE' +
+ JJ v'Of v'N^dQ' dE'. (1.53)
Следует подчеркнуть, что TV1--! появляется в этом уравнении только в слагаемом, описывающем деление.
Можно ожидать, что при последовательном применении этой итерационной процедуры плотность нейтронов последовательных поколений будет возрастать для надкритических систем, уменьшаться для подкритических и оставаться постоянной для критических. Во всяком случае, следует ожидать, что отношение плотностей нейтронов двух последовательных поколении будет стремиться к константе, не зависящей от г, й и Е. Если это так, то сравнение уран-нений (1.49) и (1.53) показывает, что эта константа равна к, т. е.
Iim Sl- = к. (1-54)
t-*-CO N 1-і
Правильность этого утверждения строго подтверждена для некоторых приближений уравнения переноса [34]. Вероятно, оно справедливо в общем случае. На самом деле некоторые приближенные формы итерационной процедуры, определенной уравнением (1.53), используются в большинстве численных расчетов критичности, a k вычисляется с помощью уравнения (1.54). Эта процедура будет детально рассмотрена в гл. 4 для многогруппового диффузионного приближения.
1.5.6. СРАВНЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ k И а
Для критических систем, у которых а0 = О и k = 1, соответствующие собственные функции удовлетворяют одному и тому же уравнению. Однако для любой другой системы собственные функции различаются. Это можно продемонстрировать, записав однородное уравнение (1.47) в виде
VQ • VNao + (0 + ) VNao = JJ a' fv' Na. dQ' dE'. (1.55)
Для критической системы с а0 = О оно становится тождественным по форме уравнению (1.49) с k = I. В остальных случаях уравнения, очевидно, не совпадают.
В уравнении (1.55) слагаемое ajv появляется как дополнительное сечение поглощения, так что иногда его называют «временное поглощение». В част-
39
ности, следует отметить, что для подкритической системы а0/и<;0 и поэтому ¦о -}- а0/и может быть отрицательно или равно нулю. Это сопряжено с известными трудностями при проведении численных расчетов. По этой, а также другим причинам обычно проще иметь дело с k, чем с а0.
Другое преимущество использования k проявляется при расчете спектра нейтронов в критических системах, оказывающихся в процессе счета слегка отличными от критических. При определении k число появляющихся при делении нейтронов меняется в Mk раз для достижения критичности. Эта процедура слабо влияет на спектр нейтронов, и полученный спектр может быть использован для нахождения распределения энерговыделения, коэффициента воспроизводства и т. п., по крайней мере, при |1—k \ <? 1, т. е. для систем, близких к критическим. Введение Oi0 эквивалентно изменению для достижения критичности концентрации поглотителя с сечением поглощения, меняющимся по закону 1/и, а это должно воздействовать на спектр нейтронов. При а0 > 0 спектр ужестчается, а при а0 < 0 — смягчается. Таким образом, спектр, полученный при определении а0, не следует использовать при расчете баланса нейтронов, за исключением тех случаев, когда на самом деле рассматриваются временные процессы (см. гл. 10).
