Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
as (г, Е) M (Е, Т) = JJ as (г, E') fs (г; Q', E' Q, Е) M (E', T) dQ' dE1. (7.10)
Условие, накладываемое уравнением (7.10), должно выполняться при любом сечении рассеяния. Фактически оно представляет собой разновидность общего принципа детального равновесия, который применяется к системе, находящейся в тепловом равновесии [10]. В рассматриваемом случае рассеяния нейтронов, находящихся в тепловом равновесии с ядрами при температуре Т, принцип детального равновесия записывается в виде
М(Е, Т) Os (г, ?)/,( г; —Й, E-+—Q', E') =
= М(Е', Т)Os(г, E')fs(г; Q', Ef-^Q, Е). (7.11)
Это уравнение устанавливает, что в системе, находящейся в тепловом равновесии, интенсивность рассеивающих столкновений с ядрами нейтронов, имеющих энергию Е, в результате которых нейтроны приобретают энергию E', равна интенсивности таких столкновений, в результате которых нейтроны с энергией E' приобретают энергию Е. Интегрируя уравнение (7.11) по —й' и E' и используя нормировочное соотношение (7.8), получаем уравнение (7.10).
Принцип детального равновесия (7.11) оказывается очень полезным при рассмотрении задач термализации. В первую очередь это связано с тем, что
257
большинство сечений рассеяния, используемых в расчетах термализации, вычисляются с помощью некоторой теоретической модели и содержат много приближений. Важно, однако, чтобы они, по крайней мере, допускали максвелловское распределение как решение в предельном случае системы с большими размерами и слабым поглощением. Это можно обеспечить, требуя, чтобы сечения удовлетворяли принципу детального равновесия, определяемому уравнением (7.11). В разд. 7.3.4 показано, как это условие можно применять систематически, используя определенные свойства симметрии функций рассеяния.
7.2.3. СООТНОШЕНИЕ ВЗАИМНОСТИ ДЛЯ ТЕПЛОВЫХ
НЕЙТРОНОВ
Даже более важным, чем отмеченное выше, применением принципа детального равновесия является получение с его помощью соотношения взаимности для среды с однородной температурой. Напомним, что в гл. 2 такое соотношение, известное как теорема взаимности, было выведено для односкоростной теории и представлено в сжатом виде через функции Грина уравнением (2.29)
G (г2, О2->- гь —fli) = G (гі, Йі -*¦ г3, -O2). (7-12)
которое устанавливает связь между потоком нейтронов в точке i\, обусловленным источником в точке г2, и потоком в точке г2, обусловленным источником в точке T1.
Для общего случая задач с энергетической зависимостью это простое соотношение не выполняется, но существует соотношение взаимности между функциями Грина для потока нейтронов и сопряженной ей функцией [см. уравнение (6.13)]. Причина такого различия состоит в том, что оператор переноса, зависящий от энергии, не является самосопряженным, в то время как для односкоростной задачи он почти самосопряженный, причем «почти» означает, что необходимо только изменить направление движения нейтрона, т. е. знак переменных й и t (см. разд. 6.1.6).
Покажем теперь, что оператор переноса нейтронов для задач термализации можно сделать почти самосопряженным с помощью элементарного преобразования, а также то, что имеется основание для существования простого соотношения взаимности. Рассмотрим неоднородную стационарную задачу переноса нейтронов [см. уравнения (6.4) и (6.5)], описываемую уравнением
— ЬФ = Й . VO+ (ога+ (Ts) Ф —
— ^as(r,?')UП Й'. E1-^Qt Я)Ф(г, Й', E')dQ'dE'= Q(vt Й, Е). (7.13)
Соответствующее сопряженное уравнение [ср. уравнение (6.7)] имеет вид
— L+Ф+ = — Й • уФ+ + (сга + а8)Ф+ — а,(г, E)fa(г; Й, E-+Qf, E') ф+(г, Й', E')dQ'dE'= Q+(г,Й, Е), (7.14)
где все обозначения имеют тот же смысл, что и в гл. 6. Для потока нейтронов Ф и сопряженной функции Ф+ предполагаются обычные граничные условия свободной поверхности.
Определим теперь функции г|) и г|)+ в следующем виде:
г|> (г, Й, Е) = Ф (г, Й, Е)IVM(EtT); г|?+ (г, Q, E)= VM (Et Т) Ф+ (г, Qt Е),
258
где T — постоянная температура среды. Если эти выражения подставить в уравнения (7.13) и (7.14) соответственно, то получим, что
где Os есть as (г, ?'), a os — Os (г, Е).
Если переменные А и А' в уравнении (7.16) заменить на —й и —А' соответственно, то результат будет иметь вид
В соответствии с принципом детального равновесия [см. уравнение (7.11)] коэффициент, на который умножается г|)+ под знаком интеграла в выражении (7.17), идентичен соответствующему коэффициенту перед г|) в уравнении (7.15). Таким образом, левая часть уразнения (7.17) имеет такой же вид, как и левая часть уравнения (7.15), за исключением того, что функция ij>+ (г, —й, Е) в одном из них заменена функцией (г, Q, Е). Из этого следует, что оператор, который действует на функцию \j), оказывается почти самосопряженным, т. е. самосопряженным, исключая знак переменной й.
Предположим, что
Из уравнений (7.15) и (7.17) можно видеть, что источники для г|> и г|+ теперь отличаются на множитель M (E1, Т). Следовательно,
где замена A1 на —A1 в правой части происходит из-за различия направлений источника в уравнениях (7.15) и (7.17), а изменение й на—й из-за соответствия между г|) (г, й, E) и г[>+ (г, —А, ?). Вводя представленные выше определения функций г|) и і[)+. приводим уравнение (7.18) к виду
