Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
(ф, L ф) = ^dx ^dy [D(x, y)(V ф)2 + о(х, у) ф-(х, у)]. (6.144)
Требуется выразить функцию0 (х, у) в виде произведения двух пробных функций, а именно: ф (х, у) = фг (х) ф 2 (у), так что уравнение (6.144) принимает вид
Предположим, что фі(х) варьируется и коэффициенты перед 6 <561 (х) полагаются равными нулю. В этом случае получается уравнение Эйлера, которому должна удовлетворять функция фі(х). Аналогично можно вывести уравнение
245
Эйлера и для функции ф2 (у). Эти уравнения имеют вид
d
dx
d
[D1 (л- ) <*> ] + Io1 (X) + D1 (*) Bf (X)I Ф г (X) -= 0;
iy [°г<м) 'У ]+|g»<»>+°>Лу)ВЇ(у)\ ФЛу) = О,
(6.145)
где
D1(X) = ^Ky) D (х, y)dy\ D2(y) = ^l(x)D(x, y)dx\
Oi (х) '=^фЦу)о(х, у)dy\ ог(у) = ^ф\ (х) о (х, у)dx; D1 (х) B21 (х) = J D (х, у) [- йУ>
DM BI (у) = ^D(х,у) dx.
(6.146).
dx J
Очевидно, что уравнения (6.145) имеют простой вид одномерных диффузионных уравнений с дополнительными членами DB2, которые можно интерпретировать как соответствующие утечки нейтронов в перпендикулярном направлении. В простых случаях В] можно определить через лапласиан, который связан с зависимостью потока от переменной у.
Предположим, например, что все сечения постоянны и
ф M = V У у о COS (Я у/у0), так что поток обращается в нуль при у = ±*/0/2, а нормировка такова, что
У./2
\ Ф1(у)Лу= 1.
-</./2
В этом случае можно показать, что O1 = о и D = D и, кроме того, получить соотношение
D1B? = D (я/г/о)2,
которое устанавливает, что В] представляет собой лапласиан, характеризующий утечку нейтронов в направлении оси у. Аналогично В\ — лапласиан, описывающий утечку нейтронов в направлении х.
Уравнения (6.145) и (6.146) были решены методом последовательных приближений. Этот метод СОСТОИТ В ТОМ, чтофункция ф 2 (у) принимается известной, или более просто, принимаются известными величины O1, D1 и B2I и находится решение для функции ф1 (х). Затем эта функция подставляется в уравнения (6.146) для определения а2, D2 и D2Bl- Используя эти величины, можно найти функцию ф г (у) и т. д. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута сходимость последовательных приближений. Обычно это происходит уже после одной или двух итераций. Интересно отметить, что выражения, аналогичные уравнениям (6.145), использовались в течение ряда лет для нахождения приближенных решений двухмерных задач, однако значения о, D и B2 обычно получались заранее, а не описанным выше методом.
Широко изучались обобщения приведенного метода на многогрупповые задачи с различными пробными функциями [441. Физические принципы, положенные в основу этих обобщений, рассматривались в предыдущих разделах, но часто очень сложно применить их к детальным многогрупповым расчетам. С помощью вариационных принципов были, кроме того, получены уравнения метода дискретных ординат [45].
246
Упражнения
1. Для постоянного источника в подкритической системе использовать разложение потока в виде (6.42) и получить коэффициенты разложения (*).
2. Доказать, что если в скалярном произведении (Ф+, ЬФ) используются функции Ф+ и Ф, полученные из односкоростного Ргприближения (см. разд. 6.2.2), то результат будет иметь такой же вид, за исключением постоянного множителя (4я), как и результат, получающийся при умножении левой части уравнения (6.49) наф+ и уравнения (6.50) на J+ и интегрировании по всему объему.
3. Доказать, что оператор односкоростного диффузионного уравнения является самосопряженным.
4. Доказать, что многогрупповые уравнения P1-приближения (6.56) и (6.57) являются сопряженными уравнениям (6.54) и (6.55).
5. Предположим, что н«.большой сферический блок из чистого поглощающего материала вводится внутрь полости в системе. Для расчета изменения коэффициента размножения k можно использовать теорию возмущений, однако в результате поглощения поток нейтронов внутри блока заметно ослабляется. Использовать вероятности столкновений для вычисления ослабления потока в блоке и таким образом получить выражение для изменения коэффициента размножения k, учитывая ослабление потока нейтронов в поглощающем блоке [46].
6. Требуется найти изменение полной интенсивности размножения а при добавлении небольшого количества материала на поверхности сферической системы. Вместо рассмотрения возмущенной и невозмущенной систем с различными границами можно наложить граничные условия на поверхности с радиусом, достаточно большим для того, чтобы включить в себя обе системы и затем использовать теорию, развитую в разд. 6.3.2. Найти выражения для Да, в рамках теории переноса нейтронов (с энергетической зави снмостью) и в многогрупповом диффузионном приближении.
7. Доказать, что уравнение (6.92) определяет полную интенсивность размножения а с ошибкой, пропорциональной произведению бф и 6Ф+.
8. Доказать справедливость уравнения (6.118).
9. Для односкоростной задачи в сферической системе сравнить влияния на величину а возмущения, рассматриваемого с помощью теории переноса нейтронов (см. разд. 6.3.2) и с помощью диффузионного приближения. Провести сравнение для возмущающих образцов из чисто поглощающего и чисто рассеивающего материала в зависимости от радиуса сферы.
