Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
243
M проводить интегрирование по пространственной области, которая не обязательно совпадает с первоначально выбранной областью. После этого могут быть определены уравнения Эйлера, из которых можно получить внутригрупповые спектры, т. е. функции г|) (E). Этот процесс можно повторять, чтобы получить самосогласованным способом внутригрупповые спектры, групповые константы и групповые потоки. Кроме того, с помощью этого метода можно изучать зависимость получаемых результатов от числа энергетических групп и пространственных областей, внутри которых определяются функции ij) (E).
Предположим, например, что функции t|)o,g (E) и ф]1', g (E) в функционале J варьируются и коэффициенты перед бч|?о,g и полагаются равными нулю. Проводя интегрирование по некоторой пространственной области R, находим, что
Из уравнений (6.140) и (6.141) следует, что t|)og (E) и і|)х g (E) являются решениями двух связанных интегральных уравнений. За исключением члена, содержащего величину Ylig, уравнение (6.140) аналогично выражению для энергетического спектра нейтронов в бесконечной среде. В действительности, так как сечения, как правило, не зависят от х по каждой области R, то сечения O0 и O0tg-будут принимать значения для бесконечной среды с точностью до нормировочных постоянных, которые связаны с выбором нормировки в уравнениях (6.125)— (6.128). Интегральные уравнения (6.140) и (6.141) можно решить численно, получая внутригрупповые спектры ij) (E) с любой желаемой степенью точности. Таким образом, имеется самосогласованный метод, пригодный для определения внутригрупповых спектров при известных групповых потоках.
Чтобы оценить член Ylj g в уравнении (6.140), можно записать закон сохранения нейтронов [см. уравнение (1.17)] для стационарного случая в следующем виде:
Если проинтегрировать это выражение по пространственной области R, то можно установить точное соответствие между первым, вторым и четвертым членами получающегося соотношения и соответствующими членами уравнения (6.140). Третий член в уравнении (6.142) становится равным
3Q,, s (E)-Зо, (E) Iplil (?) —Y0lj1(1,,, g (E) +
+32S ?)1=1. = 0. <6Л41>
1
Qi, g (Е) = j Ф Т. е (*) J \Pt (и) Q (х> Е) dIldx (і = °.О;
R
— I
(Е) = S Ф еM0 (*. Е) Ф i, g (х)dx (* = о. і);
R
R
R
R
Q(г, Е) — оф (г, ?)— у-J(г, Е) + ^о'!ф'йЕ' = 0. (6.142)
5 V • J (г, Е) dV = 5 П • J (г, Е) dA = результирующей утечке из области R.
R
Поверхность области R
244
Следовательно, член YilgIplig (E) в уравнении (6.140) представляет собой приближение к зависящей от энергии утечке нейтронов из области R. Аналогичную, но более сложную интерпретацию можно дать и члену YolglPolg (E) в уравнении (6.141). Результаты этих рассмотрений были использованы в ряде случаев [37].
6.4.10. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ
Было показано, что вариациониые методы можно использовать для получения в систематическом виде приближений к уравнению переноса. Такой общий подход можно применять для изучения различных физически разумных приближений к потоку нейтронов, которые иначе трудно сформулировать. Ниже описаны четыре представляющих интерес ситуации.
Во-первых, оказывается возможным представить поток нейтронов в трехмерной системе в виде произведения решений для одномерных и двухмерных систем [38]. Во-вторых, может быть сделана попытка представить поток вблизи границ с помощью разложения в ряд по некоторым специально сконструированным функциям или с помощью необычных комбинаций разложений [39]. В-третьих, вблизи скачка температур поток тепловых нейтронов можно представить в виде суммы двух распределений для бесконечной среды, соответствующих более горячей и более холодной областям, а затем определить пространственную зависимость амплитуд двух спектров [40]. Наконец, можно синтезировать решения нестационарных задач, используя различные пространственно-зависимые функции в разные интервалы времени [41]. Эти и другие применения вариационных методов подробно рассматриваются в работе [42].
Решение двух- или трехмерных задач в сложной геометрии, которые часто встречаются в реакторной физике, с помощью прямых многогрупповых методов в настоящее время едва ли возможно. Синтез таких решений в виде произведений или других суперпозиций более элементарных решений представляет, следовательно, большой практический интерес. Этот метод будет проиллюстрирован при решении наиболее простого случая [43].
Предположим, что требуется найти решение задачи на критичность в односкоростном диффузионном приближении для двухмерной прямоугольной геометрии с помощью комбинации одномерных решений. Если в качестве координат выбрать переменные х и у, то уравнение диффузии можно записать в виде
L ф = — V-D (х, у) V ф (х, у) + а (х, у) ф (х,у) = 0, (6.143)
где предполагается, что поток нейтронов и все пробные функции обращаются в нуль на некоторой прямоугольной границе. На основании уравнения (6.143) можно показать, что, как ожидается для односкоростной задачи, оператор L является самосопряженным и что
