Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
— 3 2 j aIlx: Е'->~Е)ф і, g- (x)i|)|, g' (f'Jdf'jl- (6.130)
Кроме того, можно провести интегрирование по каждой энергетической группе, так как ф0 g (E), ig (E), ipo,g(?) (E) предполагаются известными функ-
циями энергии.
Если полученный результат подставить в функционал J, определенный уравнением (6.120), то функции фo,g(x) и ф f,g (х) можно произвольным образом проварьировать и получить уравнения Эйлера, полагая коэффициенты перед б ф o,g и б ф t,g равными нулю. Используя нормировки (6.125)—(6.128), можно записать полученные результаты в обычном многогрупповом виде [для сравнения см., например, уравнения (4.30) и (4.31)]; таким образом, полагая коэффициент перед Ьфо,ё равным нулю, находим, что
-?¦[Ф і. «(*)! + °o.g фо.°(х)= 2°o.g'->g(x) фо.<>'(х) + С1о,е(х) (6.131)
g'
и, полагая коэффициент перед Ьф *ig равным нулю,
?-[^o,g(x)]+3al#g ф |.в(х) =
= 3 2 Oi .*'-**(*) ^i.e'W + 3Qi.f(x), (6.132)
<т'
о
I
Qo, g (X) = J я|эд, g (E) dE j* Q (х, [I, Е) d (6.133)
е -і
і
Qi.«(*) —g(?)dE J [aQ(x, E)dn, (6.134)
g — і и групповые константы определяются в виде
= E)^ g (E) tyt,g (E) dE, 1 = 0,1; (6.135)
g
ai. g'-*g(x) = ^dE 5 O1 (х; Е'-+Е)^' g. (E)^t, g(E)dE', і = 0,1. (6.136)
g g'
Сравнение с результатами гл. 4 показывает, что уравнения (6.131) и (6.132) по форме идентичны многогрупповым уравнениям Рі-приближения, однако групповые константы теперь усредняются как по потоку, так и по сопряженной функции (ценности нейтронов).
Возвращаясь к функционалу J и варьируя фо,й и фi,g> можно получить сопряженные уравнения
—U *(*)] +G0.* ^oig(X) = 2aO,*-**' Ф$,з'(х) + <2o.g(x); (6.137)
х g'
—1Ф о, * (X)} + 3o1|g Ф Г, g (X) = 3 2 о,,*-Г Ф I+. g‘¦ (X) + ZQt s (X). (6.138)
g'
242
Здесь Qo,g и Qi+,g определяются так же, как и в уравнениях (6.133) и (6.134),. только источник Q заменяется в них сопряженной величиной Q+, a i|)+ — соответствующей функцией і|). Групповые константы имеют такой же вид, как и E уравнениях (6.135) и (6.136). Таким образом, очевидно, что уравнения (6.137) н-(6.138) являются сопряженными уравнениями (6.131) и (6.132) соответственно. Обобщение результатов на случай нестационарных задач (с учетом запаздывающих нейтронов) изложено в работе [34].
Необходимо сделать некоторые замечания, касающиеся граничных условий, в связи с использованием уравнения (6.130) для произведения (Ф+, L<D) при выводе уравнений (6.137) и (6.138). Чтобы операцию взятия производной d/dx в уравнении (6.130) перенести с потока на сопряженную функцию, потребовалось провести интегрирование по переменной хпо частям. Хотя получающийся при этом интеграл, который можно вычислить с помощью условий нормировки (6.127) и (6.128)
U [ Ф о, я (х) К g (E) Ф Ilg (х) Ipltg (E) + ф t, g (х) г[>г. g (E) ф0>8 (х) г|)0> g (E)] dE =
= Ф 0, g (X) фг,8(х)+ф Г, g (X) Фо,8 (*). (6.139)-
должен оцениваться на границах, им пренебрегали при получении уравнений (6.137) и (6.138). Такое пренебрежение можно, однако, оправдать, когда используется граничное условие ф0}в = ф$,g = 0, известное из гл. 4.
Усреднение групповых констант по потоку и сопряженной функции, на первый взгляд, не приносит большой пользы главным образом из-за того,, что помимо групповых потоков необходимо еще рассчитывать и групповые сопряженные функции. Однако оказалось, что такое усреднение дает значительно' лучшие результаты, чем простое усреднение по потоку, по крайней мере для задач с небольшим числом групп [35]. Для большого же числа групп усреднение-по сопряженной функции менее важно, так как сопряженная функция в таком случае незначительно изменяется в пределах одной группы.
Пробные функции в уравнениях (6.123) и (6.124) не удовлетворяют граничным условиям теории переноса нейтронов. Установлено, что если они используются в функционале J' (6.117), то на них накладывается больше требований, чем они могут удовлетворить. Например, граничное условие требует, чтобы
і і
5 (лФс(|Х = 5 (X2 Фс((Х = 0.
о о
Для односкоростной задачи эту избыточность граничных условий можно исключить и получить превосходное значение экстраполированной длины, ограничиваясь теми пробными функциями, для которых на границе выполняется условие [36]
Ф о (х)! Ф і (х) = — ф о (х)1 ф t (х)- (6.139а)-
Для задач с энергетической зависимостью использование уравнения (6.139а) для каждой группы приводит к тому, что уравнение (6.139) обращается в нуль на границе; следовательно, выбор такого условия является естественным.
6.4.9. САМОСОГЛАСОВАННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ГРУППОВЫХ КОНСТАНТ
В предыдущем разделе многогрупповые уравнения были получены из уравнения (6.130) следующим образом: функции г|) (E) считались известными, интегрировались по энергетической группе и затем выводились уравнения Эйлера, которым удовлетворяют функции ф (х). Однако после того, как многогрупповые уравнения решены, так что функции <j60 g (х), ф l g (х), ф o,g (х) и ф t.g(x) становятся известными, процесс можно обратить. Исходя вновь из уравнения (6.130), можно рассматривать функции ф (х) как известные