Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ф+ (+) Ф (+) — Ф+ (-) Ф (-) = Ф+ [Ф (+) —Ф (—)] +
+ Ф[ф+( + )_Ф+(_)], (6.115)
где Ф и Ф+ — средние значения потока и сопряженной функции на поверхности; разрыва соответственно, т. е.
ф = _1_[ф(+) + ф(_)] и ф+=_1_[ф+(+)+ф+(_)].
Если уравнение (6.115) подставить в уравнение (6.114), то получим (Ф+, 1Д>)— J dA JJ dQdE (п-Q) ФФ+ —
aB п-Й<0
— 2 J dA§dQdE(п-й)Ф+[Ф(+)—Ф(—)] =
і Ai
= (Ф, — L+Ф+)+ \ dA ff dQdE(п-й)ФФ+ +
АВ п-Й>0
+ 21 dA§dQdE(п-й)Ф [Ф+ (+)—Ф+ (—)]. (6.116).
( Ai
С помощью этого результата вводится функционал
J' = (Q+, Ф)+(Ф+, Q) + (®+, LФ)+ J dA JJ dQdE(n• й)ФФ+ +
aB п•Й< О
+ 2 J dA§dQdE(n-Q)0>+№(+)— Ф(—)], (6.117)
I Ai
который связан с точным значением J 0 соотношением
Jr = J0 + (бФ+, LбФ) + поверхностные члены, пропорциональные 6Ф+бф, (6.118)
справедливым даже для разрывных пробных функций, не удовлетворяющих граничным условиям. При получении уравнения (6.1118) учитывалось, что точные решения Ф0 и Фо действительно удовлетворяют и граничным условиям,,
238
и условиям непрерывности. На основании уравнения (6.116) можно показать, что функционал J' идентичен выражению
г =(<г+,Ф) + (Ф+, Q) + (Ф, L+ Ф+) — j dA Jf dQdE{п-й)ФФ+ —
aB п Q >0
— 2 j dA§dQdE(п-й)Ф[Ф+(+) —Ф+(—)]. (6.119)
і Ai
Для применения рассмотренных функционалов необходимо подробнее ознакомиться со специальной литературой [31].
6.4.7. ФУНКЦИОНАЛ J В ВИДЕ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА
Еще одно, полностью отличное от рассмотренных применение вариационных функционалов основано на том факте, что функционал J можно рассматривать как функцию Лагранжа для системы в том смысле, что, если требуется, чтобы функционал был стационарным для малых, но произвольных изменений функций Ф и Ф+, то можно найти уравнения, которые удовлетворяются обеими функциями Ф и..Ф+. Покажем, что этот метод приводит к систематическому способу получения приближений к уравнению переноса [32].
В соответствии с принципом Гамильтона, используемым в механике, интеграл от функции Лагранжа по времени в пределах между двумя фиксированными точками должен быть стационарен при изменении траектории системы относительно истинной на небольшую, но произвольную величину. Из этого принципа можно вывести уравнения, которые должны удовлетворяться вдоль истинной траектории. Они называются уравнениями Эйлера и для простой механической системы представляют собой просто законы движения Ньютона [33].
Рассмотрим функционал J, определенный уравнением (6.86), для неоднородной задачи, т. е.
J = (Q+, Ф) + (Ф+, Q) + (Ф+, 1Л>), (6.120)
где пробные функции Ф иФ+ удовлетворяют определенным граничным условиям и условиям непрерывности. Если в функциях Ф и Ф+ произведены небольшие, но произвольные изменения, так что измененные функции также удовлетворяют граничным условиям и условиям непрерывности, то с точностью до членов первого порядка малости вариация функционала J дается выражением
бJ = (Q+, 6Ф) + (6Ф+, Q) + (6Ф, L+ Ф) + (6Ф+, 1Д>). (6.121)
Так как по условию 6Ф+ и 6Ф произвольны, то очевидно, что вариация б/ может быть равной нулю, т. е. функционал J может стать стационарным или не-зависящим от вариаций 6Ф и 6Ф+, только если выполняются соотношения
— 1Д> = <2 и — Ь+Ф+ = <2+, (6.122)
которые представляют собой уравнение переноса и сопряженное уравнение, удовлетворяемые точными значениями функций Ф и Ф+. В вариационном исчислении они являются уравнениями Эйлера. Таким образом, требование стационарности функционала J может быть удовлетворено, только если Ф и Ф+ представляют собой решения уравнения переноса и сопряженного уравнения соответственно.
Можно ослабить требование о том, что функции Ф и Ф+ должны удовлетворять граничным условиям и условиям непрерывности, и допустить возможность использования разрывных пробных функций, не удовлетворяющих граничным условиям. В этом случае используются функционалы, определенные уравнениями (6.117) и (6.119), и для того чтобы вариация функционала обратилась в нуль, пробные функции должны удовлетворять не только уравнениям
239
(6.122) всюду, где они непрерывны, но и граничным условиям и условиям непрерывности на любой поверхности Ai. Чтобы показать это, надо получить вариацию функционала бJ' из уравнения (6.117) и выражение для члена (Ф+, ЬбФ) из уравнения (6.116). Полагая все коэффициенты перед 6Ф и 6Ф+ равными нулю, можно получить уравнение (6.122), а также граничные условия и условия непрерывности для функций Ф и Ф+.
Таким образом, можно сделать вывод, что требование стационарности функционала для малых, но произвольных вариаций функций Ф и Ф+ эквивалентно требованию удовлетворения уравнений (6.122) вместе с граничными условиями и условиями непрерывности. Конечно, всем этим требованиям могут удовлетворить только точный поток Ф0 и точная сопряженная функция Ф+. Тем не менее полученный результат очень полезен, так как можно использовать приближенные функции Ф иФ+ и затем применить уравнение Эйлера для того, чтобы вывести в систематической форме приближенные уравнения, которым должны удовлетворять поток и сопряженная функция. Однако, когда используются приближенные значения потока и сопряженной функции, возможные вариации уже не являются полностью произвольными, а ограничиваются теми, которые допускаются конкретными видами функционалов, выбранных для функций Ф и Ф+.
