Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Pf-* м = —
с
1 —(1 -Cr) *"
s . (6.109)
Рассмотрим вариационный функционал Js [см. уравнение (6.91)] в виде
OO
J [Ч> (ЛГ) S (лг) djf]3
Js =
j J 1|) (.V') к (х, х') г|) (х) dx' dx
— OO — OO
Из уравнения (6.108) точное значение функционала Js, т. е. J0, равно
OO
J0= ^ г|)(х)S (х) dx =•-S j* t|)(х) dx = StJv xF,
— оо F
где Xf — толщина зоны топлива, т. е. j dx = хр. Можно показать [28], что
F
функционал Js всегда меньше, чем J0. Следовательно, можно выбрать пробную функцию и варьировать ее таким образом, чтобы получить максимум Js и, следовательно, наилучшую оценку величины урр. Используя достаточно простые, но разумные пробные функции, а именно постоянную величину в зоне топлива и решение диффузионного уравнения в замедлителе, и варьируя их относительные значения, можно получить точное значение вероятности Pf-а/ из уравнения (6.109) [29].
Следует отметить, что задачу, подобную рассмотренной выше, можно легко и с высокой точностью решить на вычислительной машине с помощью программы расчета, основанной на использовании метода дискретных ординат. Интересно, однако, сравнить точное решение с тем, которое может быть получено вариационным методом.
6.4.6. РАЗРЫВНЫЕ ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ
В предыдущих рассмотрениях круг приемлемых пробных функций Ф и Ф+ ограничивался теми, которые удовлетворяли определенным граничным условиям и условиям непрерывности; лишь для них выполняется
236
условие (Ф+, 1Л>) = (Ф, L+Ф+). В других же случаях, как показано ниже, в скалярных произведениях остаются некоторые члены, обусловленные тем, что •пробные функции не удовлетворяют условиям непрерывности и граничным условиям. Так как часто удобно использовать пробные функции, которые хотя и являются достаточно хорошим приближением, но не удовлетворяют определенным граничным условиям и условиям непрерывности, необходимо рассмотреть последствия применения таких пробных функций 130]. Подобное положение может возникнуть, если ПОТОК нейтронов, полученный В Рі-приближении, использовать с точным оператором переноса нейтронов L или если в качестве пробной функции для потока принять кусочно-гладкую функцию, которая не может удовлетворять условию непрерывности.
Стационарный оператор переноса нейтронов L и сопряженный оператор L+ определяются уравнениями (6.5) и (6.7) соответственно в следующем виде:
— ЬФ(г, Й, ?) = ЙУФ + 0Ф —
— 55 of (г; Й', ?' Й, Е) Ф (г, Й', E') dQ' dE(6.110)
— L+Ф+ (г, Й, E)= — Й уф+ + 0ф+ —
— §of (г; Й, E-^Q', Е')Ф+(г, Й', E')dQ' dE'. (6.111)
Если пробные функции, имеющие разрывы на некоторых внутренних поверхностях А г, подставить в уравнения (6.110) и (6.111), то члены, содержащие производные, обратятся на этих поверхностях в бесконечность. При интегрировании ЬФ в скалярном произведении интеграл от члена, содержащего производную, приводит к условию скачка (или разрыва) на поверхности Ai.
Чтобы убедиться в этом, умножим уравнение (6.110) на Ф+, а уравнение (6.111) — на Ф, вычтем одно из другого и результат проинтегрируем по всем переменным. Все члены правой части получившегося уравнения, за исключением членов, содержащих производные, будут взаимно уничтожаться, как показано в разд. 6.1.3. Так как используемые ранее граничные условия и условия непрерывности в данном случае неприменимы, то при интегрировании остаются члены, содержащие производные, и результат приобретает вид
(Ф+, — 1Д>) = (Ф, — 1 + Ф+) + (Ф+, Й-уФ) + (Ф, Й-УФ+). (6.112)
Для того чтобы последние два члена превратить в поверхностный интеграл, объемный интеграл в скалярном произведении можно интерпретировать как сумму интегралов по каждому из объемов V1, внутри которых функции Ф и Ф+ непрерывны. Для каждого такого объема
j dV§ (Ф+ й ¦ УФ + Фй¦ УФ+)dQdE = f dV -QOO+) dQdE =-
^ Vi
= \dA§n-QOO+dQdE. (6.113)
Суммируя эти интегралы по всем объемам, получаем вклад от каждой поверхности Ai, равный произведению п й, умноженному на разрыв (или скачок) в величине ФФ+, который можно обозначить таким образом:
Разрыв = [фф+ (+ )_ФФ+ (_)],
где сторона поверхности, обозначаемая знаком (+), имеет нормальный вектор л, направленный наружу, а сторона, обозначаемая знаком (—), вектор п, направленный внутрь объема, ограниченного поверхностью. Используя уравне-
237
ниє (6.113) для каждого отдельного объема вместе с уравнением (6.112), полу-чаем для всего объема с граничной поверхностью А в следующее уравнение:
(Ф+, — 1Л>) = (Ф, — L+Ф+)+ J <МЦ п-йФФ+dQdE +
aB
+ 2 f dA $ п-Й[ФФ+(+) — ФФ+(—)}dQdE. (6.114)
І і А і
Уравнение (6.114) представляет собой обобщение уравнения (6.6) для пробных функций Ф и Ф+, которые не удовлетворяют граничным условиям и условиям непрерывности. Необходимо напомнить, однако, что при вычислении объемных интегралов в скалярных произведениях интегрирование проводится по каждому из объемов, в котором функции Ф и Ф+ непрерывны, и результаты суммируются. Поверхности разрывов Ai в этом случае появляются только в поверхностных членах.
При использовании пробных функций рассматриваемого типа оказывается,, что поверхностные члены должны вычитаться из функционала в уравнении (6.86). Хотя при этом ошибка в произведении (Q+,Ф) равна (6Ф+, 1І6Ф) плюс поверхностные члены, пропорциональные 6Ф+6Ф, равенство (Q+, Ф) — = (Ф+,0) не выполняется с такой степенью точности. Бояее симметричный функционал можно найти, используя тождество
