Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Для удобства предположим, что собственные функции нормированы таким образом, что
где 6г_7 — дельта-символ Кронекера. Если разложение пробной функции (6.99) подставить в уравнение (6.97) и использовать соотношение (6.100), то получим
Неравенство в правой части соотношения появляется из-за того, что C0 представляет собой наименьшее собственное значение.
Отсюда следует, таким образом, что значение 1/с,полученное из уравнения
(6.97), всегда меньше, чем искомая величина 1/с0. Следовательно, в уравнение
(6.97) можно ввести пробную функцию с некоторыми свободными параметрами, которые нужно варьировать так, чтобы достичь максимального значения 1/с. Например, с помощью простой пробной функции ф(х) = 1 — (Зг2, имеющей в качестве варьируемого параметра величину (5, можно получить значения с с точностью до трех или четырех значащих цифр [25]. Для этого выбранную пробную функцию нужно подставить в уравнение (6.97) и найти то значение параметра {5, для которого производная от 1/с по (5 равна нулю. Кроме того, необходимо убедиться, что полученное таким образом стационарное значение 1/с является максимальным, а не минимальным.
Критический радиус сферы. Для сферы радиусом а интегральное уравнение, соответствующее уравнению (6.94), выводится из уравнения (1.41) в виде
где ф(г) = ф(—г). Вариационное выражение для 1/с, аналогичное уравнению
(6.97) для пластины, имеет тогда следующий вид:
Как и прежде, значение 1/с0 будет верхним пределом значений 1/с, рассчитанных из уравнения (6.102). Используя пробную функцию в виде степенной функции четвертого порядка
OO
(6.99)
а
І Фііх) ф}{х) dx= ді},
(6.100)
(6.101)
а
(6.102)
С
а
J [гф (r)l* dr
ф (г) = 1 — — |374
234
с варьируемыми параметрами |3 и |3', можно получить очень точное значение величины 1/с. Эти значения используются в табл. 5.3 в столбце «точное значение» для всех случаев, кроме тех, в которых с— 1 < 1. О точности полученных результатов можно судить по очень малому влиянию на величину 1/с изменений параметра |3' [26].
6.4.5. ЗАДАЧА О ВЕРОЯТНОСТИ ПОГЛОЩЕНИЯ НЕЙТРОНОВ
Другой пример применения вариационных методов относится к классической задаче односкоростной теории. Предположим, что имеются две однородные зоны с изотропным и однородным источником нейтронов в одной из них, например в замедлителе. Требуется определить вероятность поглощения нейтронов в соседней области, например в топливном элементе. Такая задача возникает при расчете коэффициента проигрыша тепловых нейтронов в односкоростном приближении [27]. В соответствии с результатами, представленными в разд. 2.7.2, источник нейтронов может быть помещен в любую из двух зон, так как с помощью соотношения взаимности [см. уравнение (2.101)] можно определить вероятность Pf-m, если известка вероятность Pm-f, и наоборот.
В связи с этим представленный ниже расчет будет относиться к оценке Pf-м вероятности того, что нейтрон, рожденный в зоне топлива, будет поглощаться в окружающем замедлителе.
В разд. 2.8.2, 2.8.3 приведенное выше рассмотрение использовалось для описания вероятностей столкновения (или поглощения) в чисто поглощающей среде. В настоящем исследовании это ограничение не обязательно. Основная его цель — показать, что даже в тех случаях, когда исходное односкоростное уравнение не является явно самосопряженным, с помощью некоторых элементарных преобразований можно привести его к такому виду.
Предположим для простоты, что топливо в виде пластины расположено внутри бесконечной зоны замедлителя (рис. 6.5). Полный поток нейтронов удовлетворяет в этом случае соотношению [см. уравнение (6.93)]
OO
ф = J ?i(|* — х'\)-[с (х') ф (x') + Q(x')] dx', (6.103)
— OO
где Q (х’) — величина, постоянная в зоне топлива и равная^нулю в замедлителе; значения с равны Cp и Cm в зонах топлива и замедлителя соответственно. Расстояния измеряются в единицах длин свободного пробега, которые необязательно одинаковы в двух зонах. Так как все нейтроны должны поглощаться либо в топливе, либо в замедлителе, то из этого следует, что
Pf^m = I -(I-Cf) JfIQ, (6.104)
где фр—среднее значение полного потока взонетоплива, так’что(1 — cf)<?f/Q есть вероятность поглощения нейтронов в зоне топлива. Следовательно, задача решена, если можно определить ф f-
Существует два неблагоприятных аспекта уравнения (6.103): во-первых, интегральное ядро этого уравнения несимметрично, так как оно содержит
Рис. 6.5. Топливная пластина в бесконечном замедлителе.
235
величину с (х'), и, во-вторых, источник Q появляется в нем в сложном виде. Этих трудностей можно избежать, введя симметричную функцию. Положим
У (*) = 1 ¦- [с (ж) ф (X)+ Q (*)1 (6.105)
Vc(X)
и
S (х) = — ------Q (X). (6.106)
V C(X)
Введем симметричную функцию к (X, х')
К(х, Xt) = 6 (X-Xt) -VT(X) (\х—х’\) YT(F) ]. (6.107)
Если соотношения (6.105), (6.106) и (6.107) использовать в уравнении (6.103), то получаем
OO
j К(х, x')^(x')dx'= S (х). (6.108)
— OO
Это уравнение можно записать, как и уравнение (6.84), в общем виде — 1л|)(я)= =S (я), где S (я) — источник, постоянный в топливе и равный нулю в замедлителе. Из уравнения (6.104) вместе со средним значением ip(x) по зоне топлива, получаемым из уравнения (6.105), следует, что