Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
231
—(а/у)Ф+. Уравнения (6.84) и (6.85) после этого станут уравнениями для собственного значения а. Проведем те же замены и в функционале Js уравнения
(6.91). Рассмотрим прежде всего тот результат, который получился бы, если бы Фх и Of были точными значениями,равными Ф0 и Фj соответственно. Точный функционал, обозначаемый J0, имел бы тогда следующий вид
J0 =
Используя уравнение
а3[(l/о)ФсТ, O0I2 (Фо > LO0)
1Л>0 = — Фс,
получаем, что J0= —а(-^-Фо,Ф0). Приравнивая оба полученных выражения для J о, находим точное значение а, равное
(Фо, L-Фо)
а =
[(1/у) Фо , Ф0]
а требуемый функционал для приближенной оценки а имеет вид
(ф+’ La>) Q9\
а «----------------- (6.92)
[(1/у) Ф+, Ф]
Это выражение для собственного значения а очень напоминает соотношения, полученные из теории возмущений. Например, в уравнении (6.63) а и а* можно рассматривать как величины, полученные из вариационного уравнения
(6.92).
6.4.4. ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ К ОДНОСКОРОСТНЫМ ЗАДАЧАМ
Ранее отмечалось, что вариационные методы оказываются особенно полезными в односкоростных задачах из-за того, что операторы для потока в этом случае являются самосопряженными. В интегральном уравнении переноса для полного потока с изотропным рассеянием операторы в точности самосопряженные (см. разд. 6.1.8). Вариационные расчеты оказались очень ценными при нахождении наиболее точных критических размеров для простых систем; в течение многих лет они служили в качестве стандартов при сравнении с другими расчетными методами [23]. Ниже приводятся два примера на расчет критичности и один — на решение неоднородной задачи с источником.
Критическая толщина пластины (изотропное рассеяние). Рассмотрим однородную пластину, бесконечную в двух направлениях. Пусть единица измерения расстояний выбрана так, что а = 1, а толщина пластины равна 2а. Среднее число нейтронов, испущенных (изотропно) в результате столкновения с ядрами, равное (см. разд. 2.1.2). Требуется найти критическую толщину пластины для фиксированного с или, наоборот, критическое значение с для пластины фиксированной толщины. Здесь приведен метод решения последней задачи.
Комбинируя уравнение (1.38), в котором исключена энергетическая переменная, и результаты, приведенные в разд. 2.1.3, можно получить требуемое односкоростное интегральное уравнение, а именно:
а
<?(*:) = -i-j ?х(|я—х'\)[сф (x')-\-Q(x')]dx'. (6.93)
232
Так как в задаче ка критичность отсутствует независимый источник, то Q(x') = 0. Следовательно, интегральное уравнение приводится к виду
Требуется найти собственное значение с, в действительности — наименьшее собственное значение с, для фиксированной толщины а.
Имеется, по крайней мере, две причины для использования при решении этой задачи интегральной формы уравнения переноса. Во-первых, интегральное уравнение содержит полный поток нейтронов и оператор его в точности самосопряженный. И, во-вторых, полный поток является функцией только одной переменной, поэтому работать с ним гораздо легче, чем с потоком, зависящим от угловой переменной.
Чтобы применить развитую в предыдущем разделе теорию, уравнение
(6.94) можно записать в виде
Уравнение (6.95) напоминает уравнение для собственного значения а, в котором вместо а/и стоит Mc. Следовательно, по аналогии с вариационным уравнением (6.92) для собственного значения а следует ожидать, что Mc можно найти из соответствующего уравнения
так как полный поток и сопряженная функция в данном случае равны (см. разд. 6.1.8). Подставляя в полученное выражение явный вид оператора L из уравнения (6.96) и расписывая скалярные произведения, представляющие собой интегралы по х от —а до а, находим, что
Уравнение (6.97) есть искомое вариационное выражение для 1/с. Далее будет показано, что значение Mc, полученное из этого уравнения, меньше или равноточному значению для всех пробных функций ф. Рассмотрим уравнение (6.94) в качестве уравнения на собственное значение для Ci и собственной функции ф if т. е.
Это уравнение является линейным интегральным уравнением с симметричным (и невырожденным) ядром, т. е. ядром, удовлетворяющим соотношению
а
(6.94)
— ф=1ф, с
(6.95)
где линейный оператор L теперь представляет собой интегральный оператор, определенный соотношением
а
— а
с
(ф+, L ф) _(ф, L ф) (ф+, ф) (ф, ф) ’
~2 S S Ei(\ х — х' \) ф (х) ф (х') dx' dx
—а — а
—а — а
(6.97)
а
с
J ф 2 (л) dx
а
(6.98)
233
которое представляет собой просто другой способ выражения того, что интегральный оператор является самосопряженным. Из общей теории таких уравнений [24] известно, что существует бесконечное число действительных положительных собственных значений {сг} с ортогональными собственными функциями {фі}-
Пусть собственные значения размещены по порядку, так что C0 < C1 < <1 с2 <1 ... и т. д. Тогда с0 есть искомое главное собственное значение. Кроме того, любую пробную функцию, удовлетворяющую определенным условиям непрерывности и граничным условиям, можно разложить в ряд по собственным функциям. Тогда
