Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
6.1.7. ОДНОСКОРОСТНОЕ СООТНОШЕНИЕ ВЗАИМНОСТИ
Некоторые из приведенных выше уравнений могут быть использованы для вывода односкоростного соотношения взаимности. Предположим, что источник Q+ представляет собой произведение дельта-функцнй, а именно:
Q+ (г, Й) = 6 (г - гх)6 (Й - A1), и, следовательно, Ф+ — сопряженная функция Грина (см. разд. 6.1.5):
Ф+ (г, Й) = G+ (r1( A1-T1 Й).
204
Однако, в соответствии с уравнением (6.19) г}) есть функция Грина
г|) (г, A) = G (гх, — Ii1 г, А) и так как, по определению, Ф+ (г, й) = ^ (г, — й), то
G+ (г1( A1 г, Й) = G (г3, — A1 г, —Й).
Если этот результат ввести в уравнение (6.13), заменив г0 на г2 и т. д., т. е. переписав его в виде
G+ (г1( A1, E1 -*¦ г2, Й2, E2) = G (г2, Й8, E2 T1, A1, ^1),
то
G (г1( A1 г2, A2) = G (г2, -A2-*- г1( — A1), (6.2 1)
что представляет собой требуемое односкоростное соотношение взаимности. Оно имеет такой же вид, как и соотношение взаимности, представленное уравнением (2.99), за исключением того, что знак переменной A2 меняется на обратный.
6.1.8. СОПРЯЖЕННОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
Ранее было показано, что в односкоростной задаче поток нейтронов отличается от сопряженной функции только знаком вектора направления движения нейтронов. Очевидно, что полный поток ф, получаемый интегрированием потока Ф по всем направлениям А, т. е.
ф (г) = §Ф(г, A) dQ, должен быть равен соответствующей сопряженной величине. Таким образом,
ф (г) = ф + (г).
Это соотношение устанавливает тот факт, что оператор переноса односкоростного интегрального уравнения для полного потока должен быть самосопряженным. Причина этого состоит в том, что в односкоростной задаче ядро интегрального уравнения симметрично относительно переменных гиг'. Существует развитая теория таких ядер, их собственных функций и собственных значений [2].
В разд. 1.2.3 и 1.2.4 показано, что интегральное уравнение для полного потока [см. уравнение (1.29)] можно написать только для изотропного рассеяния. В односкоростном приближении ядро этого уравнения симметрично. В случае анизотропного рассеяния интегрального уравнения для полного потока или полной плотности нейтронов не существует [см. разд. 1.2.4 и уравнение
(1.31)], тем не менее соотношения, аналогичные тем, которые представлены в уравнениях (6.20) и (6.21), справедливы и в односкоростных задачах с анизотропным рассеянием.
Для общего случая задач с энергетической зависимостью потока нейтронов интегральное ядро асимметрично даже для изотропного рассеяния, и оператор переноса нейтронов, как было показано, несамосопряженный. В этом случае соотношение между потоком нейтронов и сопряженной функцией определяется только уравнением (6.12). Далее будет показано (см. разд. 7.2.3), однако, что для тепловых нейтронов поток и сопряженная функция связаны простым соотношением, поскольку оператор переноса тепловых нейтронов может быть довольно просто приведен к «почти» самосопряженному виду.
6.1.9. ПРЯМОЙ ВЫВОД УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ ЦЕННОСТИ НЕЙТРОНОВ
Используя физическую интерпретацию сопряженной функции как ценности нейтронов, можно вывести для нее непосредственно из основных принципов уравнение, эквивалентное сопряженному уравнению. Рассмотрение будет проводиться с учетом временной зависимости [3].
205
Первый этап при выводе этого уравнения — определение понятия ценности нейтронов. Рассмотрим систему, содержащую детектор нейтронов, который характеризуется макроскопическим сечением ad(r, ?, /), таким, что для нейтрона в точке г существует вероятность vod(r,E,t) активации детектора в единицу времени, т. е. вероятность регистрации нейтрона. Как и ранее, v есть скорость нейтрона. Включая зависимость от времени в сечение Od, можно, в частности, описать детектор, который не все время находится в работе. Так, сечение Od может обращаться в нуль, если детектор не работает. Предположим, что нейтрон в точке г с направлением й имеет в момент времени t энергию Е. Тогда его ценность ф+ (г, й, Е, t) можно определить как ожидаемую активацию детектора, т. е. ожидаемое число одиночных импульсов, генерируемых в последующее время самим нейтроном или вторичными нейтронами, возникшими в результате рассеяния, деления и других процессов, в которых может принимать участие рассматриваемый нейтрон.
Уравнение, которому удовлетворяет ценность нейтронов, будет получено ниже методом, аналогичным тому, который использовался в гл.1 при выводе уравнения переноса. Рассмотрим нейтрон в точке г с направлением й, имеющий в момент времени t энергию Е. Предположим на время, что нейтрон находится вне зоны действия детектора, так что он не может активировать детектор в течение короткого интервала времени At. Тогда за время At нейтрон либо переместится в положение г + QvAt, либо испытает столкновение. Вероятность того, что нейтрон не испытает столкновения, равна I — ovAt, а вероятность для нейтрона испытать столкновение соответственно ovAt, где о является функцией г и Е.
Число импульсов детектора, ожидаемых от рассматриваемого нейтрона в момент времени t, равно числу импульсов от самого нейтрона и связанных с ним вторичных нейтронов в момент времени t + At. Другими словами, ценность нейтрона в момент времени t можно представить соотношением
