Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ф+(г, Й, Е) = Фв+ых (г, Й, Е), п-й > 0,
где радиус-вектор г относится к внешней поверхности. Эти условия должны быть, конечно, известны для того, чтобы найти решение задачи. Тогда, используя тот же метод, что и при доказательстве справедливости уравнения (6.6), можно получить
SSSl"iftl№(r, —Й, Е) Фвых (г, -Й, ?) —
—Фвх (г, й, Е) Ф+ (г, й, ?)] dA dQ dE =
= §§§[Q(r, й, ?)Ф+(г, й, ?)—(г, ?)Ф(г, й, E))dVdQ dE. (6.12)
Это уравнение представляет собой обобщение односкоростного соотношения взаимности [см. уравнение (2.97)1 на случай с энергетической зависимостью. Из этого более общего вида можно получить, в частности, и односкоростное соотношение.
* Можно было бы нормировать «источник» в уравнении (6.10) иным образом и тем са* мым дать размерность сопряженной функции Ф+. Если, например, в этом уравнении величину ad заменить на qod, где q — заряд (в кулонах), регистрируемый детектором, то функция Ф+ имела бы размерность заряда в кулонах на один нейтрон, и уравнение (6.11) относилось бы к электрическому току в амперах. Обычно размерность функции Ф+опре* деляется размерностью источника или «начальным» условием (см. разд. 6.1.11) и может выбираться произвольно в зависимости от рассматриваемой задачи.
202
6.1.5. СОПРЯЖЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
Из уравнения (6.11) можно вывести соотношение между функцией Грина и сопряженной ей величиной, которое будет использовано позднее. Предположим, что источник Q (г, й, E) и соответствующий источник, обозначаемый Q+ (г, й, Е) вместо Od, для сопряженной задачи можно представить произведением дельта-функций:
Q (г, Й, Е) = 6 (г - г0)б (Й - Й0)6 (Е - Е0)\
Q+ (г, Й, E) = б (г - T1) 6 (Й - A1Jfi (Е - E1).
Пусть
Ф (г, Й, Е) = G (г0, Й0,?0-*- г> ?)
и
Ф+ (г, Й, Е) = G+(rlt A1 E1 г, Й, Е).
Тогда, если Q+ подставить в уравнение (6.11) вместо Od, можно получить следующее соотношение, связывающее функцию Грина и сопряженную ей величину:
G+ (гь йі, E1 —г0, й0, E(J) = G (г0, й0, E0 —*• Ti, йі, E1). (6.13)
6.1.6. ОДНОСКОРОСТНОЕ СОПРЯЖЕННОЕ УРАВНЕНИЕ
В односкоростном приближении оператор в стационарном уравнении, эквивалентном уравнению (6.5), определяется следующим образом [см. уравнение (2.3)]:
LФ (г, й) = —й • УФ (г, й)—сгФ + crc J f (г; й'-->- й) Ф (г, й') dQ', (6.14)
а сопряженный оператор [см. уравнение (6.7)] —
L+ Ф+ (г, Й) = Й • УФ+(г, Й)—оФ+ + ос Jf (г; Й Й') Ф+ (г, Й') dQ'. (6.15)
Если предположить, что / (г, й' -> й) = / (г, й -> й'), что имеет место в случае, когда f зависит только от угла рассеяния йй', то сопряженный оператор L+ отличается от L только знаком первого члена (содержащего градиент потока) в правой части приведенных выше уравнений. Кроме того, операторы LhL+ обычно действуют на функции Ф и Ф+ соответственно, которые обращаются
в нуль на внешней поверхности при разных знаках произведения п*й. Из это-
го следует, что для односкоростной задачи функции Ф и Ф+ могут отличаться только знаком й. Это можно представить более наглядно, рассматривая неоднородное сопряженное уравнение
L+Ф+ = —Q+ (г, й),
где Ф+ удовлетворяет граничным условиям свободной поверхности для сопряженной функции. Если функцию ф определить таким образом, что
і|)(г, — Й) = Ф+(г,Й), (6.16)
то она, очевидно, будет удовлетворять соотношению
Q+(г, й)= —й-ViJ) (г,—й) + аі|)(г, — й) —
— oc\f (г,Й->Й'Жг, — Q')dQ'. (6.17)
Проведя замену переменных й на —й, получим уравнение
Q+ (г, — Й) = й- ViJ)(г, й) + сп|)(г, Й) —
— oc\f (г,— Й->Й')г|)(г,—fl')dfl'. (6.18)
203
Заменяя переменную интегрирования в последнем члене — й' на й", можно свести интеграл в уравнении (6.18) к виду
/ = $/(г;—fl-»—fl")i|>(г, fl")dfl".
Если предположить далее, что / (г; —й -> —А") = / (г; й"-> й), а это, как указывалось ранее, справедливо только в случае, когда функция / зависит от угла рассеяния й-й', но, вообще говоря, является условием инвариантности обращения времени [1], то интеграл примет вид, аналогичный члену в уравнении (6.14) с точностью до переменной интегрирования:
/ = §[(г,Й"->ЙЖг,Й") dfl".
Следовательно, уравнение (6.18) можно записать в виде
—Q+(г, — Й) = 1л|>(г,Й) (6.19)
и функция i|) удовлетворяет граничному условию свободной поверхности для потока, т. е. обращается в нуль при пй <С 0. Отсюда следует, что функция \|) представляет собой поток нейтронов, обусловленный источником Q+(r, —й).
В критической системе без внешних источников Q = O, поэтому уравнение приобретает вид
L Ф (г, Й) = 0.
Сопряженная задача также имеет решение для Q+ = O (см. разд. 6.1.10), так что из уравнения (6.19) следует:
LiJ) (г, й) = 0.
Таким образом, функции Ф (г, й) и і|) (г, й) удовлетворяют одному уравнению и, кроме того, одним и тем же граничным условиям свободной поверхности. Значит, если функции нормированы так, что Ф (г, й) = (г, й), то из опре-
деления i|) в уравнении (6.16)
Ф (г, Й) = Ф+(г, —Й). (6.20)
Из этого следует, что для односкоростного приближения поток нейтронов и сопряженная функция очень похожи. Отличие для критической системы состоит только в знаке векторов направления движения нейтронов для стационарного случая, т. е. поток нейтронов в точке г в направлении й равен сопряженной функции в точке г в направлении — й. Если в качестве переменной в уравнение входит и время, то различие будет также и во времени (см. разд. 6.1.11). Причина такого подобия потока нейтронов и сопряженной функции состоит в том, что односкоростной оператор переноса является «почти» самосопряженным; для истинного самосопряженного оператора L+ = L, в данном же случае оператор не является полностью самосопряженным из-за различия в знаке члена, содержащего градиент функции.
