Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
А = J 5 S [ф+ (й ‘ ^ф) + ф (Й ¦ V Ф+)1 dV dQ dE. (6.8)
Требуется доказать, что A = O. Способ доказательства аналогичен тому, который был изложен в разд. 2.7.1 при выводе соотношения взаимности.
Tак как оператор V не действует на угловую переменную, то
Й-УФ = УЙФ и Й-УФ+ = УЙФ+.
* Величина а в подынтегральном выражении уравнения (6.7) является функцией г и Е, в то время как в уравнении (6.5) она зависит от г и ?', что очевидно из соответствующих аргументов функции /. Следует рассматривать комбинацию Ofl как единое выражение.
200
Два члена в уравнении (6.8) можно при этом скомбинировать таким образом, чтобы получить
A = JJJv-QO)+ OdVdQ dE.
Преобразуя интеграл по объему в интеграл по поверхности с помощью теоремы Гаусса—Остроградского, можно получить
Д = JJ $п-ЙФ+(г, Й, Е) Ф (г, Й, E)dAdQdE,
где интегрирование проводится по поверхности А, на которой заданы граничные условия. На этой поверхности произведение функций Ф+Ф равно нулю, так как в соответствии с приведенными выше граничными условиями Ф+ = 0 для п-й>0иФ = 0 для n-й <С 0. Спедовательно, Д = 0 и уравнение (6.6) удовлетворяется.
6.1.4. СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ И ЦЕННОСТЬ НЕЙТРОНОВ
Как отмечалось в разд. 1.5.4, решение стационарного уравнения переноса имеет физический смысл для подкритической системы, в которой присутствует постоянный (не зависящий от времени) источник нейтронов. Аналогично и сопряженное уравнение имеет решение (сопряженную функцию) для подкритической системы с постоянным источником нейтронов. Ниже исследуется физический смысл этого решения; нестационарная задача рассмотрена в последующих главах.
Физический смысл зависящей от энергии сопряженной функции можно понять, рассматривая стационарную подкритическую систему, содержащую произвольный постоянный источник нейтронов Q (г, й, Е). Предположим, что в системе присутствует детектор нейтронов, регистрирующий реакции 10B (п, а) или 235U (п, /) и имеющий чувствительность, пропорциональную макроскопическому сечению ядер детектора Od (г, E), которое представляет собой вероятность счета в детекторе на единицу пути нейтрона.
Поток нейтронов в системе удовлетворяет стационарному уравнению переноса (6.4), т. е.
ЬФ = — Q
или
й • V Ф Ч- оФ =
= JJct/ (г; Й',?'-> Й, ?)Ф (г, Й\ ?') dfl' dE' + Q (г, Й, Е) (6.9)
с обычным граничным условием свободной поверхности, означающим отсутствие входящих нейтронов. Кроме того, рассмотрим неоднородное сопряженное уравнение с источником Od (г, Е), т. е.
L+ Ф+ = —Od
или
—й*уФ+ + стФ+ =
= J Jct/(г; Й, ?->Й', ?')Ф+(г, Й', E')dQ' dE' + od(г, ?) (6.10)
с граничным условием, требующим обращения в нуль ф+ на внешней поверхности для п-й >• 0.
Уравнение (6.9) умножается далее на Ф+, а уравнение (6.10) — на Ф. Получающиеся выражения почленно вычитаются одно из другого и разность интегрируется по всем переменным. Используя определение сопряженного оператора в уравнении (6.6), получаем
J Q (г, Й, ?) Ф+ (г, Й, ?,) dV dQ dE = J od (г, ?) Ф (г, Й, ?) dV dQ dE. (6.11)
201
Правая часть этого выражения просто пропорциональна чувствительности детектора к источнику Q. Источник же имеет произвольную величину; он может быть единичным с фиксированными значениями г0, Q0lE0, т- е- определяться произведением дельта-функций. В этом случае
Ф+(гс, Q0. Ео)= IodOdVdQdE.
Следовательно, функция Ф+ (г0, й0> E0) пропорциональна чувствительности детектора к такому единичному источнику. Другими словами, сопряженная функция Ф+ является мерой ценности нейтронов с точки зрения их вклада в чувствительность детектора. Этот физический смысл сопряженной функции согласуется с выбранным для нее граничным условием свободной поверхности. Очевидно, что нейтрон, выходящий из объема через свободную поверхность, не имеет ценности, так как не может вернуться в систему.
Из уравнения (6.10) следует, что сопряженная функция Ф+ безразмерна. Если Od — вероятность счета детектора на единицу пути нейтрона, то согласно уравнению (6.11) J Q<$+dVdQdE представляет собой ожидаемую скорость счета, обусловленную источником Q, а ф+ (г0, й0, ?о) — ожидаемую скорость счета на один нейтрон в точке г0 с направлением й0 и энергией E0*.
Одно из возможных применений сопряженной функции очевидно из уравнения (6.11). Если требуется определить чувствительность данного детектора к нейтронам разной энергии, то нет необходимости рассчитывать поток нейтронов для каждого источника (или каждой энергии). Единственный расчет сопряженной функции вместе с использованием уравнения (6.11) будет достаточным для расчета чувствительности детектора по отношению к любому источнику.
Полученные выше результаты зависят от принятых граничных условий свободной поверхности. Если допустить наличие входящих через поверхность нейтронов, то уравнение (6.11) будет содержать дополнительный член для таких нейтронов, и результат можно использовать для определения чувствительности детектора к входящим нейтронам. Пусть граничные условия имеют вид
Ф (г, Й, ?) = Фвх(г, Й, Е), п - й < 0;
