Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
(?+, Lф) = (ф, L+IjJ+) (6.3)
198
для любых «допустимых» функций ф и г|)+. При этом собственные функции сопряженного оператора L+ ортогональны собственным функциям оператора L. Таким образом, если ф — собственная функция оператора L1 такая, что Lф — = Хф , a i|)+ — собственная функция оператора L+, такая, что L+Tj)+ = туф+, то из уравнения (6.3) следует: (X — r|) (t|)+, ф) = 0. Значит, если X Ф г|, то (\j)+, ф) = 0, т. е. собственные функции операторов L и L+, соответствующие различным собственным значениям X и г|, ортогональны. С другой стороны, если (г})+, ф) ф 0, то X = г). Проведенное рассмотрение используется ниже для изучения уравнения переноса.
6.1.2. ОПЕРАТОР ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ
Оператор переноса нейтронов L можно определить на основе стационарного уравнения переноса (1.14) в следующем виде:
L0> (г, Й, Е) + Q (г, QtE) = О, (G.4)
где
ЬФ(г, й, E)= —й-УФ(г, й, Е) — сФ +
-fjj J of (г; Й\ ?'->Й, Е) Ф (г, Й', E')dQ'dE'. (6.5)
Как показано ниже, оператор L не является самосопряженным. Другими словами, если функции і|)(г. й, Е) и ф (г, й, Е) удовлетворяют требуемым условиям непрерывности и граничным условиям, то (i|), L ф) Ф (ф , LiJ)), где при определении скалярного произведения интегрирование в соотношении (6.1) проводится по всем углам й, энергиям нейтронов и замкнутому объему, на поверхности которого задаются граничные условия.
Чтобы показать несовпадение приведенных выше скалярных произведений, рассмотрим прежде всего члены, содержащие градиенты функций. В скалярном произведении (г|), L^) этот член имеет вид
SSS —^ ФI dQ dE, в то время как в произведении (ф , Lij)) он равен
SSS — ф [Si • V^p] dV dQ dE.
Обычно эти две величины различны. Аналогично интегральный член в произве-дении (t|), L ф) имеет вид
I ... $г|)(г, Й, Е) of (г; Й', E1-^QtE) ф (г, Й', E')dVdQdEdQ' dE't
а в произведении (ф , Ltj;), где переставлены функции tj) и ф , этот член, очевидно,
отличен от приведенного выше. Следовательно, скалярные произведения (tj), Lф) и (ф , LiJ)) не равны, и оператор переноса нейтронов несамосопряженный.
6.1.3. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ
Хотя оператор переноса нейтронов L не является самосопряженным, можно тем не менее определить сопряженный ему оператор L+ так, что для любой функции tj)+, удовлетворяющей определенным граничным условиям и условиям непрерывности, отличающимся, вообще говоря, от тех же условий для функции ф, будет выполняться соотношение
0|)+, Lф) = (ф, L+Tj)).
199
Поскольку в настоящей главе оператор L действует на поток нейтронов, то сопряженный оператор определяется из условия
(CD+, L(D) = (Ф, L+ Ф+); (6.6)
Ф+ называется сопряженным потоком, функцией ценности или чаще всего сопряженной функцией. Обе функции, Ф и Ф+, удовлетворяют соответствующим граничным условиям непрерывности. Рассматривая левую часть уравнения (6.6), можно вывести необходимый вид оператора L+ и граничные условия, накладываемые на сопряженную функцию Ф+. Однако для простоты ниже приведено выражение для сопряженного оператора и показано, что оно удовлетворяет уравнению (6.6).
Функция Ф может быть выбрана удовлетворяющей граничным условиям свободной поверхности (см. разд. 1.1.4). Таким образом, Ф (г, й, E) — 0 для всех г на выпуклой границе и всех направлений, входящих в данный объем нейтронов, т. е. для пй < 0. Тогда сопряженная функция будет удовлетворять граничным условиям Ф+ (г, й, Е) = 0 для всех г на границе и всех направлений выходящих нейтронов, т. е. для пй > 0. Кроме того, предполагается, что и Ф, и Ф+ — пространственно непрерывные функции (см. разд. 1.1.4), так что при вычислении градиентов этих функций не возникает никаких трудностей. При таких предположениях в соответствии с определением сопряженного оператора переноса член L+ Ф+ в правой части (6.6) имеет вид
L+ф+(г, й, ?) = й-уФ+(г, й, Е) — сгФ+ +
+ $ $ of (г, Й, E Й', E') Ф+ (г, Й', Е) dQ' dE'. (6.7)*
Между операторами L+ и L, определяемыми уравнениями (6.7) и (6.5) соответственно, можно заметить следующие отличия: члены, содержащие градиенты функций, имеют противоположные знаки и в функции рассеяния of порядок расположения переменных й, Е, й', E' различен, т. е. й', E' й, E в операторе L и й, E Й', Е’ в операторе L+.
Далее будет показано, что оператор L+ действительно является сопряженным в том смысле, что уравнение (6.6) удовлетворяется, т.е.
55$Ф+ЬФdVdQdE = Щфі+ Ф+ dVdQ dE
для любых Ф и Ф+, удовлетворяющих требуемым граничным условиям и условиям непрерывности. Из выражений для L(J) и L+Ф+ в уравнениях (6.5) и (6.7) следует, что каждая часть уравнения (6.6) состоит из трех аналогичных членов, один из которых содержит градиенты функций, второй — величину о и третий— произведение of. Члены, содержащие а, очевидно, идентичны, так же как и те, в которые входят произведения of, что можно видеть, меняя переменные интегрирования Q', E' и й, Е. Остается показать, следовательно, что совпадают и члены, содержащие градиенты функций. Разность Д между двумя этими членами в уравнении (6.6) равна
