Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
20
интегрирования. Для определения переменной интегрирования необходимо детально проанализировать, от каких переменных зависит дифференциал искомой величины и какая переменная является главной, наиболее существенной. Эту переменную чаще всего и выбирают в качестве переменной при интегрировании. После этого все остальные переменные выражают как функции от этой переменной. В результате дифференциал искомой величины принимает вид функции от переменной интегрирования. Затем определяют пределы интегрирования как крайние (предельные) значения переменной интегрирования. После вычисления определенного интеграла получают числовое значение искомой величины.
Пример 6.1 Тонкий стержень длины I=1 м равномерно заряжен зарядом Q = IO-12 Кл. Определить потенциал электрического поля этого заряда в точке А, расположенной на оси стержня на расстоянии d=l м от его конца (рис. 6.2). Среда — вакуум.
Решение. Ответ, записанный в виде (p=Q/(4n8od), откуда следует, что ф=9.10~3 В, является ошибочным, ибо эта формула справедлива только для потенциала электрического поля, созданного точечным электрическим зарядом. В нашем случае заряд Q расположен на теле (стержне), геометрическими размерами которого (/=1 м) нельзя пренебречь по сравнению с характерным расстоянием (d—l м), рассматриваемым в данной задаче. Следовательно, заряд Q нельзя считать точечным.
Применим метод ДИ. Разделим стержень на столь малые участки, чтобы каждый из них можно было принять за материальную точку. Поэтому заряд, расположенный на таком участке, можно считать точечным. Рассмотрим один такой участок длины dx, отстоящий от точки А на расстоянии х. Заряд этого участка точечный и составляет dQ= (Q/l)dx. Заряд dQ создает электрическое поле, потенциал dq> которого в точке А может быть вычислен по формуле
Подставив в (6.4) значение dQ=*(QIl)dx, получаем дифференциал искомой величины как функцию одной перемен-
U ' >и и > А
1 т
Q ах с * Ж
6.2.
21
ной:
Первая часть метода закончена. Переходим к суммированию потенциалов полей, созданных всеми элементарными зарядами (по построению они все точечные), на которые был разделен первоначальный заряд Q. Переменная интегрирования X изменяется в пределах от d=\ м до d-\-l==2 ш. Интегрируя (6.5) по л; в этих пределах, окончательно получаем значение искомой величины:
d+l
? Qdx _ Q1Z11M
1 а^Гх-ш;11п[1+и)'
d
Подставив числовые значения, получим фа;6,3-10~8 В.
Метод дифференцирования и интегрирования является универсальным и необходимым как при изучении теории, так и в особенности при решении задач по физике. В механике с помощью этого метода производят вычисление работы переменной силы, моментов инерции, при изучении физических полей его используют для расчета напряженностей и потенциалов полей, созданных неточечными массами, неточечными зарядами, макротоками и т. д.
Математическую основу метода составляют дифференцирование и интегрирование функций. Поэтому рассматриваемый метод позволяет практически осуществить межпредметную связь при изучении курсов физики и высшей математики.
§ 7. Метод упрощения и усложнения. Метод оценки
Этот метод используют при решении сложных задач, а также при решении непоставленных и нестандартных задач. Его широко применяют на этапе анализа решения физической задачи. На этом этапе метод упрощения и усложнения позволяет развернуть любую задачу в «блок» все более сложных или более простых задач. Типичным в этом отношении является пример 11.2 (см. § 11).
Составными частями метода упрощения и усложнения являются два взаимосвязанных и противоположных процесса: процесс упрощения (идеализация, оценка и отбрасывание второстепенных явлений, пренебрежение несущественными деталями и т. д.) и процесс усложнения (учет и рас-
22
смотрение ранее отброшенных объектов, явлений, деталей, усложнение физической системы, связей и т. д.). Материальную основу этих процессов составляет метод оценки.
Этот метод часто используют при анализе любой физической ситуации, производя оценку физических величин или оценку физических явлений.
Оценка физической величины заключается, во-первых, в арифметическом (числовом) расчете порядка самой величины (оценка порядка) и, во-вторых, в сравнении однородных величин по их порядкам (сравнение по порядку).
При арифметическом расчете порядка величины, зависящей от других величин, числовое значение каждой из этих величин представляют в стандартном виде (произведение первой значащей цифры на десять в соответствующей степени). Затем оценивают порядок каждого слагаемого (если рассчитываемое выражение есть алгебраическая сумма). Выделяют слагаемые с наивысшим порядком. Слагаемые, порядок которых по крайней мере на два ниже слагаемых наивысшего порядка, отбрасывают. Точную значащую цифру оставшихся слагаемых определяют или с помощью логарифмической линейки, или на микрокалькуляторе.
Пример 7.1 Пусть в результате общего решения задачи
получена следующая расчетная формула:
Am VM (PiT2-P2T1) т~~ RT1T2
где V=9 л—объем газа, Л! =2-10""3 кг/моль — его молярная масса, рі=52-105 Па — первоначальное давление газа, T1=296 К — его начальная температура, р2 — =5-10* Па — конечное давление газа, 7^=283 К — его конечная температура, R =8,31 Дж/(моль-К) — универсальная газовая постоянная, Am — изменение массы газа. Оценить порядок величины Am. Решение Переводим данные величины в СИ, одновременно округляем их значения и представляем в стандартном виде. В результате получаем: VaJIO-2M3, М—2-10~3 кг/моль, Рі«5-109 Па, Тх^З-Ю2 К, р2=5-104 Па, Т2=3-102 К, Дж/(моль-К). Из этих данных, во-первых, видно, что приближенные значения начальной и конечной температуры одинаковы и, следовательно, вместо первоначальной формулы получается более простое выражение
