Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
nQ2 __
При решении этой задачи в соответствии с п. 3) упрощений к условиям первой задачи мы пренебрегали электрическим полем Земли. Поэтому для корректной постановки задачи с капельками ртути необходимо задать такие значения величин R, h, т и Q, чтобы данное условие (а также и другие) было выполнено.
§ 36. Проблемные задачи
Рассмотренные выше задачи хотя и относятся к категории непоставленных и неидеализированных, но в них в явном виде не было «зерна» проблемы. Рассмотрим пример задачи (назовем его пример 36.1), которая не только
237
является непоставленной и неидеализированной, но и содержит в себе идею проблемы. В процессе анализа этой задачи мы увидим, что она представляет частный случай непоставленной задачи, рассмотренной в примере 35.1 (движение заряженного тела в электрическом поле и в поле тяготения), но в ней в отличие от обобщенной задачи из примера 35.1 поставлена конкретная проблема.
Подход к постановке проблемы. Известно, что газ из атмосферы планеты улетучивается в космическое пространство. Через некоторый промежуток времени планета может лишиться своей атмосферы (как это, например, произошло с Луной). Исчезновение атмосферы планеты объясняется тем, что молекулы атмосферы распределены по скоростям по закону Максвелла (точнее, по закону Максвелла — Больцмана). Поэтому в атмосфере всегда имеются молекулы, скорости которых больше второй космической скорости для этой планеты. Такие молекулы могут преодолеть силу тяготения планеты и навсегда уйти от нее. Вместо этих "ушедших молекул в атмосфере вновь образуются молекулы^ скорости которых превысят вторую космическую скорЪсть, что позволит и этим молекулам покинуть планету. \Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока атмосфера не исчезнет...
Как легко здесь молекулы приобретают вторую космическую скорость! Вторая космическая скорость... Преодоление силы притяжения... Поле тяготения..., но против поля тяготения можно действовать и другим полем, например электрическим. Известно, что Земля имеет электрическое поле, напряженность которого у поверхности Земли .E3« 130 В/м. Нельзя ли использовать электрическое поле планеты для того, чтобы сообщить заряженному телу вторую космическую скорость?
Можно рассчитать, что если электрон пройдет разность потенциалов всего в 1 В, то он приобретет скорость, примерно равную 600 км/с, что значительно превышает значение второй, космической скорости для Земли (i>2« «11,2 км/с). Протон, пройдя разность потенциалов в 100 В, приобретает скорость 14 км/с, что также превышает значение V2. Таким образом, протоны легко могут «улететь» от Земли.
Постановка проблемы. Исследовать возможность использования электрического поля планеты для старта космических кораблей.
Подход к постановке проблемной задачи. В качестве планеты рассмотрим гипотетическую планету с параметра-
238
ми Земли. Примем, что Земля — шар радиуса #«6400 км с массой M =6-1024 кг. Произведем некоторые оценки (числовые расчеты порядка некоторых величин). Рассчитаем сначала электрический заряд Q и потенциал ф Земли:
<2=?4яє0#2, Q~5,9-10B Кл,
'-55?. М-Ю-В.
Мы знаем (это можно показать и расчетом), что протон, имеющий заряд ?^=1,6- Ю-19 Кл и массу трж\,67- Ю-27 кг, двигаясь в электрическом поле Земли, легко может приобрести скорость, большую второй космической скорости для Земли, и улететь в космическое пространство. Поставим следующий вопрос: какова максимальная масса т тела, имеющего заряд, равный заряду протона, которое, двигаясь в электрическом поле Земли, может преодолеть ее силу тяготения и уйти в бесконечность? Предположим, что тело — материальная точка — стартует с поверхности Земли с начальной скоростью D0=O. Тогда по закону сохранения энергии имеем
rmM QQp л /ос і*
где G=6,67-10""u Н-м2/кг8 — гравитационная постоянная. Отсюда определяем максимальную массу тела:
QQp
т = ш01т' тКГ.
Такую массу имеет пылинка. Итак, пылинка с массой 2,MO'18 кг, имеющая заряд (?,=1,6-1O-19 Кл, может улететь от Земли. Но пылинке можно сообщить заряд значительно больший, чем заряд протона Qp. Здесь возникают два вопроса: каким может быть максимальный заряд Qmax пылинки (тела) и как этот заряд может быть сообщен телу (пылинке)? Ответ на оба вопроса можно получить, если представить тело (пылинку) в виде металлического шарика радиуса г, который будет заряжаться от Земли путем непосредственного контакта. Электрические заряды перетекают от Земли к шарику до тех пор, пока не сравняются потенциалы этих тел. Так как емкость шарика С=4ле0г и C=Qmax/q>, то
-, . 4ne0rQ rQ
Qmax=4*W-4^- = -3-,
239
где ф — потенциал Земли. Пусть р — плотность шарика, тогда его масса
m=*/sjtr3p. (36.2)
Подставляя значения максимального заряда шарика Qmax и его массы т в формулу (36.1), получаем уравнение для определения радиуса г шарика плотности р, который может улететь от Земли:
r M4ZgJtT3P , QrQ _ п Отсюда
idm- <36-3>
Примем, что плотность шарика р=103 кг/м2 (шарик может быть инольш). Произведя расчет в СИ, получаем г« «1,8•1O-2 м=1,8 см. Масса такого шарика по формуле (36.2) составляет примерно 17 г.
