Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
212
по кинетическим энергиям (рис. 31.2), можно найти из соответствующей функции распределения:
/M(BJ-2«(-J^)4, fi'-e-"./«"». (31.18)
Таким образом, предложенная задача сводится к задаче о нахождении экстремума функции (31.18). Определив
Шк
31.2
первую производную Zm(FJ и приравняв ее нулю, получим
/«<?»> = 4^r)*v^(-^)?-'+ + Ч-аг)"т?.-А«-?-ь
Отсюда найдем вероятное значение кинетической энергии молекул:
?к ^kT 12. (31.19)
Температуру определим из уравнения Менделеева — Клапейрона
T=pVM/(mR).
Используя (31.18) и (31.3), можно найти среднее значение кинетической энергии молекул (в поступательном движении):
<?к>=3/2?7\
Таким образом, средняя кинетическая энергия молекул идеального газа в три раза больше вероятного значения кинетической энергии:
Заметим, что различие между средней скоростью молекул идеального газа и их вероятной скоростью менее зна-
2)3
чительно:
«в У 2ftT/m ~ ' § 32. Распределение Больцмана
Распределение Больцмана (31.6) для одномерного случая принимает вид
dw(x) = Щ^й = B1B-VWHkT) fa, (32.1)
где dN (х) — число частиц из данных N в слое толщиной dx вблизи координаты х. Применим распределение (32.1) к атмосфере Земли. Предположим, что температура воздуха в атмосфере Земли постоянна: T=const (случай изотермической атмосферы). Примем, что высота h атмосферы -значительно меньше радиуса Земли R (h<t.R) и, следовательно, в пределах атмосферы можно считать ускорение свободного падения постоянным (g=9,8 m/c2=const). Тогда потенциальная энергия молекулы массой т на высоте х от поверхности Земли U(x)=mgx.
Используя условие нормировки (31.2), определяем постоянную Bx:
О
Отсюда Bi=mg/(kT).
Таким образом, число молекул dN (х) в слое воздуха толщиной dx на высоте х от поверхности Земли
dN (X) = е-"**л*г> dx. (32.2)
Пусть dS — элементарная площадка, перпендикулярная оси ОХ. Тогда dxdS=dV — элемент объема, а выражение N mg
dS
Po
— это давление атмосферы на поверхности Земли. Следовательно, в объеме dV на высоте х от поверхности Земли число молекул
dN(x)=^t-n4*HbT)dV.
214
Так как d/V (x)/dV—n—плотность молекул на высоте х, a p0/(kT)=n0— плотность молекул вблизи поверхности Земли, то
п*=п0е~т*х'<кТ1 (32.3)
Отсюда можно получить барометрическую формулу:
Стандартные задачи на распределение Больцмана (так же как и при использовании распределения Максвелла) сводятся к определению средних физических величин и к нахождению числа частиц, обладающих некоторым свойством.
Пример 32.1 Найти среднюю потенциальную энергию молекул воздуха в поле тяготения Земли. На какой высоте от поверхности Земли потенциальная энергия молекул равна вредней потенциальной энергии? Температуру воздуха считать постоянной и равной 0°С. Решение. Газ (воздух) находится в поле тяготения Земли. Следовательно, его молекулы распределены по энергиям согласно функции распределения Больцмана
где U*=mgh — потенциальная энергия молекулы.
Если известна функция / распределения молекул по какому-либо физическому параметру / (скорости v, импульсу р, энергии E ит. д.), то среднее значение некоторой физической величины, являющейся функцией от этого параметра ф(/), определяется по формуле
<Ф(0>=
S Ф (0 / (0 d/
о
J/(0 d/
о
В нашем случае ф (/)=?/, /=/в. Таким образом, среднее значение потенциальной энергии молекул воздуха в поле тяготения Земли
<?/> = JL--. (32.4)
215
В выражении (32.4) знаменатель
со
о
а числитель
СО CD
О о
Следовательно,
<Uy=kT.
Теперь находим высоту h, на которой потенциальная] энергия молекул воздуха равна средней потенциальной] энергии: <U>=mgh или kT=mgh. Отсюда
mg Mg
Пример 32.2 Определить массу воздуха в цилиндре основанием AS = I м2 и высотой h=\ км. Считать, чт воздух находится при нормальных условиях. 1
Решение. Применять уравнение Менделеева — Клапейрона нельзя, ибо физическая система — идеальный] газ (воздух) — находится в поле тяготения Земли. Нельзя и непосредственно использовать формулу (32.2), так какі толщина слоя dx=/i=l км велика. Проинтегрировав (32.2) по л: в пределах от 0 до h, найдем полное число молекул воздуха в данном цилиндре:
0
Умножив (32.5) на массу т одной молекулы, получим иско-* мую массу:
M1 = mNt = 1 -е'Щ = (1 -е'Щ,
где M =29 кг/кмоль — молярная масса воздуха.
Если бы воздух не находился в поле тяготения Земл^ то, по уравнению Менделеева — Клапейрона,
M 2=рAShMl[RT). Найдем отношение Мг и M1: a= ^i= Mgh
M1 RT{\—z~Mghl(RT)) '
216
Числовой расчет для высот Zi1=IOO м, Zi2=I км, Zi3 = IO км дает следующие значения этого отношения: Gt1=1,008, а2=1,08, а3=1,8.
Таким образом, для воздуха, находящегося в объеме с высотой до сотен метров, можно применять уравнение Менделеева — Клапейрона, не учитывая распределения Больц-мана. Для воздуха, находящегося в объеме с высотой 1 км и более, использование уравнения Менделеева — Клапейрона приводит к значительным ошибкам и в этих случаях необходимо учитывать влияние поля тяготения Земли.
Интересно было бы исследовать зависимость а от параметров (температуры T, молярной массы М, ускорения свободного падения g).
