Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
208
метры) могут быть найдены как средние значения, вычисленные по множеству допустимых микросостояний (см. 31.3). Вследствие этого одной из основных задач, решаемых статистическим методом, является нахождение средних значений различных физических величин и определение среднего числа частиц dN (из данных N), обладающих некоторым свойством.
Пример 31.1 Азот находится под давлением р=\ атм при температуре 7=300 К. Найти относительное число молекул азота, модуль скорости которых лежит в интервале скоростей от <и> до <u>-fdo, где du=l м/с. Внешние силы отсутствуют.
Решение. При давлении р = 1 атм и температуре T=300 К азот можно считать идеальным газом. В отсутствие внешних сил молекулы идеального газа подчиняются закону распределения Максвелла. Конкретный вид этого закона определяется из условий задачи —необходимо использовать распределение Максвелла по модулю скорости (31.9):
dN = N4n у/в0*е-™«/<2аг) dVf ?31.11)
где dN — число молекул из данных Л/, модуль скорости которых лежит в интервале от и до v-rdv, т — масса молекулы. Как известно, выражение (31.11) справедливо, если интервал скоростей dv столь мал, что изменением функции распределения
на этом интервале скоростей можно пренебречь, считая ее приближенно постоянной. В нашем случае интервал do=
31.1
= 1 м/с мал (по сравнению со значением средней скорости <и>=Vr8kT/(nm)f*i475 м/с). Кроме того, функция распределения /м (и) в области средней скорости <i>> изменяется
209
весьма слабо (рис. 31.1). Поэтому выражение (31.11) практически решает задачу. Подставив в (31.11) значение средней скорости <u> *=V&kTI(nm), получаем решение задачи в общем виде:
N л V пЬТ У е aV' Произведя вычисления, получим dAVA/=l,9-10-»=G,19%.
При числовом расчете использовались табличные значения функции f(x)=e~x.
Пример 31.2 Найти относительное число молекул, модуль скорости которых больше модуля средней скорости.
Решение. В данном случае интервал скоростей du равен бесконечности (от средней скорости <i>> до оо) и непосредственно использовать формулу (31.11) нельзя. Но, интегрируя уравнение (31.11) в указанных выше пределах, получаем искомое относительное число молекул:
со
(31.13)
где a,=m/(2kT) и N1 — число молекул из данных Л/, модуль, скорости которых больше модуля средней скорости. Представим последний интеграл из (Зі. 13) в виде
-^Laa/> С e-a"'i>2dy =
со <u>
= — ae/. С e-avi V2 dt)--~ а8/» f e~avl Vі du.
Y л j Yn j
Первый интеграл справа (по условию нормировки (31.2)) равен единице:
со
Y
л j
210
Для вычисления второго интеграла произведем в нем замену переменного, положив /=j/ai>. Тогда
<v> Va<v>
V* I Vn д
г о
ибо Ka<u>=K4/ji«l,13.
Проинтегрировав (31.14) по частям, сведем последний интеграл к интегралу ошибок
т о
для значений которого составлены специальные таблицы. Мы получим
аТл'-л-а[-'тГ+і,},«--']-
= — 0,39 + 0(1,13).
Из таблиц находим значение интеграла ошибок Ф(1,13)=0,89. Следовательно, относительное число молекул, модуль скорости которых больше средней скорости, составляет
Таким образом, половина молекул имеет модуль скорости меньше средней скорости, а другая половина — больше средней скорости.
Пример 31.3 Определить число молекул водорода, пересекающих за 1 с площадку площадью 1 см^, расположенную перпендикулярно оси (водород находится при нормальных условиях).
Решение. Дадим два решения этой задачи.
Первая модель. Учитывая, что в газе нет преимущественных направлений движения молекул, примем, что 1/3 всех молекул движется по оси ОХ, 1/3 — по оси OY и 1/3 — по оси OZ. Следовательно, в положительном направлении оси OX движется 1/6 всех молекул. Далее предположим, что скорости всех молекул одинаковы и равны средней ско-
211
роста <и>. Тогда искомое число молекул составит
H1=1I^n0(VyASAt, (31.15)
где п0 — плотность молекул (их число в единичном объеме), AS = I см2 — площадь площадки, А/=1 с — промежуток времени.
Вторая модель. В первой модели предполагалось, что все молекулы движутся с одинаковой по модулю скоростью, равной средней скорости. Однако молекулы распределены по компонентам скоростей по закону Максвелла, который для одномерного случая легко получить из распределения (31.8):
in (Vx) - «0 ( ^)4- е—ckv (31.16).
Следовательно, число молекул, пересекающих площадку AS = I см2 за время А/=1 с, найдем из соотношения
да ао mvx
n2 = ASA^ vx dn (vx)=AS At ^n0 (^t]е"^ Vx dvx= о о
= ASA/—^=-Г — е-П
n0 ^S M
2Уan '
где a=ml(2kT). Учитывая, что <.v>=V8kTl(nm), получаем H2=1Un0(VyASAt. (31.17)
Таким образом, получены существенно различные выражения (31.15) и (31.17). Произведя количественный расчет (учитывая, что n0=p0l(kT0), где р0 и T0 — нормальное дав ление и нормальная температура), получим
л!«7,4-1023, я,«11,Ы0и.
Пример 31.4 В сосуде объемом У=30 л находится т = 100 г кислорода под давлением р=3-10? Па. Опредея лить наиболее вероятное значение кинетической энергий молекул кислорода.
Решение. Легко показать, что кислород в данньн условиях можно считать идеальным газом. Вероятное зна чение кинетической энергии молекул, которой соответствуе* максимум кривой распределения Максвелла (31.10) молекул
