Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
197
Количество теплоты
Q- Q1 + Q8 «, « С, <7S -F0) + ? С, (Г8-Г2) -=^[t И— 1) + 2я(?— 1)]. '29 16)
В последнем соотношении использована формула M а й е р а
CP=CV-VR. (29.17)
Количество теплоты можно было бы рассчитать по первому началу термодинамики (29.11):
Q = AtZ-M = ~ PoV0(nk-l) + p0V0n(k-l) = =?^ P И-1) +2/1 (A-I)];
это совпадает с полученным ранее результатом (29.16). Для числового расчета необходимо выбрать разумные значения величин п и k. Из уравнений (29.13) видно, что значение п определяет максимальное давление р8=пр0, а произведение nk — максимальную температуру T9=nkT0. Значение п не может превышать птах = \00, ибо при давлениях, равных (и больших) 100 ро, газ уже не является идеальным. Произведение nk не может превышать значения (nk)mixca\0, так как при температурах Tsttl0T0tt3' 103 К (и больших), во-первых, могут расплавиться стенки сосуда (необходимо их охлаждать) и, во-вторых, молекулярный водород станет атомарным, а при еще больших температурах в сосуде окажется уже водородная плазма. Полагая п=5 и k =2, из формул (29.14), (29.15) и (29.16) получаем:
А?/«2,2-Юв Дж, A =5-105 Дж, Q«2,7-10e Дж.
Полезно было бы исследовать такой вопрос: каково должно быть соотношение между п и k (при «&=const), чтобы отношение AIQ было максимальным? Оставляя этот вопрос читателям, поставим другой: как изменились бы искомые величины, если бы система из начального состояния перешла в конечное (квазистатически) по пунктирной прямой (рис. 29.2)? Ответ на этот вопрос легко получить из первого начала термодинамики (29.11). Изменение внутренней энергии Af/ не зависит от вида процесса, а определи-. ется начальным и конечным состояниями системы. Поэтому изменение внутренней энергии остается прежним и будет равно АС/а2,2-10° Дж. Работа уменьшится (площадь тра-
193
пеции ABDE меньше площади прямоугольника ACDE). Следовательно, по первому началу термодинамики (29.11) система получит и меньшее количество теплоты.
Пример 29.2 Два моля азота AZ2, находившиеся при нормальных условиях, сначала изотермически перевели в некоторое состояние, а затем квазистатически и адиа-батно — в конечное состояние с объемом, в четыре раза большим начального. Определить работу, совершенную газом, если в изотермическом процессе ему было сообщено Q=Il 300 Дж теплоты.
Решение. Определим промежуточное и конечное макросостояния системы. Уравнение Менделеева — Клапейрона приводит к неопределенной системе уравнений. Используем первое начало термодинамики (29.11). Для изотермического процесса
V0 V0
где Ai — работа, совершенная газом в изотермическом процессе. Отсюда определяем объем промежуточного состояния:
Далбе, используя уравнение адиабатного процесса
находим конечную температуру T
,QM (V-!)/(«* Л
T-T _
1 з— 1 о іу-гї
В этих формулах y=Cp/Cv — показатель адиабаты. По формуле (29.6) получаем изменение внутренней энергии:
uty=ITl 8" o)eIT[ 4V^ 1J'
Отсюда получаем А»4500 Дж. Заметим, что после нахождения параметров макросостояний можно было бы рассчитать искомую работу и непосредственно по формуле (29.5). Пример 29.3 Найти для идеального газа уравнение такого процесса, при котором теплоемкость газа изменяется с температурой по закону С=о:1Т, где a=const. Решение. Процесс не политропный. Поэтому применим первое начало термодинамики в форме (29.3) для од-
199
ного моля газа:
?dT = Cv dT + pdV.
Используя уравнение Менделеева — Клапейрона (29.2), перепишем это уравнение в виде
^rdT = CvdT + RT
Разделив левую и правую части на RT, после интегрирования получаем
— ~ = ^-j- In T -f In V + const.
Отсюда находим искомое уравнение процесса: VTi/(v-DeW«7") = const.
§ 30. Второе начало термодинамики
В результате какого-либо процесса система может вернуться в исходное состояние. Такой процесс называют круговым или циклическим. Используя первое начало термодинамики, можно доказать, что к. п. д. произвольного цикла
t]=(Qi-Q2VQb (30.1)
где Qi — теплота, полученная системой от нагревателя, Q2 — теплота, отданная системой холодильнику. Для цикла Карно (две изотермы и две адиабаты)
t]=(T1-T2)^1, (30.2)
где T1 — температура нагревателя, T8 — температура холодильника.
Приведенной теплотой элементарного процесса называют отношение 6Q/T. По теореме Клаузиуса, сумма приведенных теплот для произвольного цикла меньше нуля, а для обратимого цикла равна нулю:
<?^-<0. (30.3)
Отсюда, как следствие, вытекает, что сумма приве-
2
денных теплот (т. е. \ T-1OQ) для любого обратимого
процесса не зависит от вида процесса, а определяется лишь]
200
начальным (1) и конечным (2) состояниями системы.
Далее вводится понятие энтропии S системы как функции состояния, изменение которой зависит только от начального и конечного состояний системы:
2
S8-S1 = J^, (30 4)
і
где интегрирование производится по любому обратимому процессу, в результате которого система переводится из состояния / в состояние 2.
Пример 30.1 Цикл (рис. 30.1) состоит из двух изотерм (T1=OOO К, Тй=300 К) и двух изобар (р!=4р8). Определить к. п. д. цикла, если рабочим веществом служит идеальный газ, число степеней свободы молекул которого і=Ь.
