Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беликов Б.С. -> "Решение задач по физике. Общие методы" -> 56

Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.

Беликов Б.С. Решение задач по физике. Общие методы — М.: Высшая школа, 1986. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): reshenzadach1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 75 >> Следующая

Пример 28.1 На прямоугольную бесконечную щель шириной а падает (перпендикулярно плоскости щели) плоская монохроматическая волна с длиной волны 1K (рис. 28.1). Найти распределение интенсивности I света в дифракционной картине на экране Э. Решить ту же задачу для системы N параллельных щелей, разделенных непрозрачными промежутками шириной b (дифракционная решетка).
Решение. Элементарное применение метода зон Френеля позволяет найти условие минимума дифракционной картины на одной щели
\ \ \\\ \ \ \
О
А
28.1
a sin q>=kk
(28.1)
и условие максимума
asinq>=(2?+l)y. (28.2)
Однако мы не получили распределения интенсивности / света в дифракционной картине. Применим метод ДИ. Зона шириной dx (рис. 28.1), находящаяся на расстоянии х от края щели С, посылает в направлении, определяемом углом Ф, волну, уравнение которой имеет вид
dE = dEx cos ^ (dt—л: sin ф ^, (28.3)
где
dEx=cla, c=const. (28.4)
В уравнении (28.3) учтено, что для волны, распространяющейся в направлении CD, расстояния отсчитываются на этой прямой. Следовательно, |CD|=л;sinф и фаза волны, излучаемой зоной dx, равна cat—(2л/Х)х sin ф.
Проинтегрировав уравнение (28.4) по всей щели для точки О, получим значение произвольной постоянной:
a
En в \ — dx=c.
Подставляя значение d?x из (28.4) в уравнение (28.3), находим
dE = cos (юг—-Yxsm^dx. (28.5)
Интегрируя уравнение (28.5) по всей щели, получаем
а
E = J cos ^ со/—^ л; sin ф j dx =
Следовательно, амплитуда колебаний в точке А
EA=E9ata}№)a*ta*]. (28.6)
А • 0 (я/А,) a sin ф v '
Так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, то из уравнения (28.6) получаем закон для распределения интенсивности света на экране в случае
188
дифракции на одной щели:
Арі = /,
sin8 [(я/Х) a sin ф] [(я/Х) а ein ф]2
(28.7)
Легко видеть, что из уравнений (28.6) и (28.7) получается условие минимума (28.1).
Дифракционная решетка состоит из N параллельных щелей шириной а, разделенных непрозрачными промежутками шириной Ъ (рис. 28.2). Величину (а+Ь) называют периодом дифракционной решетки.
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
Для количественного расчета дифракционной картины, получаемой с помощью дифракционной решетки, воспользуемся методом зон Френеля. Разделим фронт плоской монохроматической волны, падающей нормально на дифракционную решетку (рис. 28.2), в каждой щели на зоны Френеля параллельными плоскостями так же, как и в случае дифракции на одной щели. Расстояние между соседними плоскостями равно Х/2. Если в каждой щели укладывается четное число зон, то в данном направлении (в точке А) образуется минимум. Если в каждой щели укладывается нечетное число зон, то в каждой щели остается одна непогашенная зона. Пусть эти зоны располагаются у левых краев щелей (точки В, С, D). Разность хода между соседними источниками (непогашенными зонами) постоянна:
d=\BE\=\CF\=. . .=(а+Ь) sin ф. (28.8)
Данной разности хода б соответствует постоянная разность фаз
Аф — 2яб — 2я (а+^sin ф. (28.9)
X. X
189
Следовательно, задача о расчете дифракционной картины дифракционной решетки свелась к задаче о расчете интерференционной картины от многих когерентных источников с постоянной разностью фаз (28.9). Последняя задача была решена в § 27 методом векторных диаграмм. Учитывая формулы (27.14) и (28.9), получаем закон распределения интенсивности света в дифракционном спектре дифракционной решетки:
sina j"Wn(g-H)slng)j /ф" " /<Pl cm* ^(e + fr)sinq)J-> (28-10)
где /ф1 — интенсивность, создаваемая одной щелью (см. формулу (28.7)).
Из уравнения (28.10) можно получить условие главных максимумов
(a+b) sin ф=И. (28.11)
Пример 28.2 На щель шириной а=Ю-2 мм падает нормально к плоскости щели плоская монохроматическая волна с длиной волны Л0—5 • Ю-7 м. Определить угловое положение первого максимума дифракционной картины. Среда — вакуум.
Решение. Угловое положение первого максимума можно определить из условия максимума (28.2). Отсюда
Ф = arcsin|?, ф«4°18'. (28.12)
Более точно угловое положение максимумов находят о помощью формулы (28.7). Найдем экстремум функции /ф1» взяв первую производную этой функции по ф и приравняв ее нулю:
dq>
/0х
к
2sin^ a sin ф ^cos^¦^- a sin ф^уасозф^-^азіп ф^ —
—2 ^ -— a sin ф ^j- a cos ф sin* ^ ~ a sin ф ^ (fflSUltp)4
100
Отсюда получим трансцендентное уравнение для определения экстремальных значений <р
tg ?-"- a sin =-"-asin ф,
которое после введения обозначения
(а/Х) sin ф=/п (28.13)
принимает вид
tg лт=лт. (28.14)
Корнями трансцендентного уравнения (28.14) являются следующие числа:
"11=1,43, т2=2,46, т8=3,47, .... (28.15)
Учитывая (28.15), из уравнения (28.13) определяем угловое положение первого дифракционного максимума:
Ф = arcsin Щ^, ф«4°6\ (28.16)
Из формул (28.16) и (28.12) видно, что более точное решение (28.16) значительно отличается от приближенного (28.12). Нетрудно оценить ошибку приближенного решения:
е 100%, т. е. е = 1^М^«5%.
<ф> 252'
Необходимо заметить, что формула (28.7) не только дает возможность найти точное угловое положение максимумов дифракционной картины от одной щели, но и определить интенсивность этих максимумов.
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed